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## Les tableaux de Karnaugh



## Introduction

La simplification d'une expression booléenne consiste à réduire le nombre d'opérateurs et/ou de variables, permettant ainsi d'obtenir une version plus compacte de cette expression. 

Plusieurs méthodes sont disponibles à cet effet, mais l'une des plus efficaces est l'utilisation du tableau de Karnaugh. Voici comment elle fonctionne :

- On crée un tableau pour la fonction à simplifier.
- On cherche les cellules adjacentes avec la valeur 1.
- On regroupe ces cellules en blocs de 2^n (n étant un nombre entier), en visant à faire des blocs aussi grands que possible.

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## Construction du tableau de Karnaugh

Pour une fonction à 3 variables :

- On met deux variables en haut du tableau (A et B).
- On place la troisième variable sur le côté gauche (C).
- La sortie (S) est le résultat de la fonction pour chaque combinaison de valeurs des variables.

Pour une fonction à 4 variables :

- Deux variables en haut (A et B)
- Deux variables à gauche (C et D)

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## Exemples

Considérons la simplification de l'équation logique suivante :
$$
S = \overline a b \overline c  \overline d + abcd + a \overline b c d + ab \overline c \overline d
$$
En utilisant le tableau de Karnaugh, on peut regrouper les 1 adjacents. Dans le premier regroupement (en haut du tableau), la variable a change d'état et est donc éliminée. Il reste alors :
$$
b \overline c \overline d
$$
Dans le second regroupement (en bas du tableau), la variable b change d'état et est éliminée. Il reste alors :
$$
acd
$$
L'équation logique simplifiée est donc :
$$
S = acd + b \overline c \overline d
$$


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En utilisant la même méthode, on peut simplifier d'autres équations logiques. Par exemple :

| S    | 00   | 01   | 11   | 10   |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 00   | 1    | 0    | 0    | 0    |
| 01   | 1    | 0    | 0    | 0    |
| 11   | 1    | 0    | 0    | 0    |
| 10   | 1    | 0    | 0    | 0    |

Est simplifiée en :
$$
S = \overline a \overline b
$$


------

Et de même pour :

| S    | 00   | 01   | 11   | 10   |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 00   | 1    | 0    | 0    | 1    |
| 01   | 1    | 0    | 0    | 1    |
| 11   | 1    | 0    | 0    | 1    |
| 10   | 1    | 0    | 0    | 1    |

Qui devient :
$$
S = \overline b
$$


------

Et encore une fois pour :

| S    | 00   | 01   | 11   | 10   |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 00   | 1    | 0    | 0    | 1    |
| 01   | 0    | 0    | 0    | 0    |
| 11   | 0    | 0    | 0    | 0    |
| 10   | 1    | 0    | 0    | 1    |

Qui devient :
$$
S = \overline b \overline d
$$


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## Exercices

Essayez de simplifier l'équation logique suivante à l'aide d'un tableau de Karnaugh :
$$
T = \overline a b \overline c \overline d + ab \overline c \overline d + \overline a bc \overline d + abc\overline d + \overline a \overline b  c \overline d + a \overline b c \overline d
$$


Puis, en utilisant le tableau de Karnaugh ci-dessous, tentez de trouver l'équation logique réduite correspondante. Astuce : utilisez le théorème de DE MORGAN.

| U    | 00   | 01   | 11   | 10   |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 00   | 1    | 1    | 1    | 1    |
| 01   | 1    | 1    | 1    | 1    |
| 11   | 1    | 1    | 0    | 1    |
| 10   | 1    | 1    | 1    | 1    |

$$
\overline U = abcd
$$



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Auteur : Florian Mathieu

Licence CC BY NC

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