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ajout séquence fonctions booléennes

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Florian Mathieu
2023-07-03 17:54:40 +02:00
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164
representation_base/chapitre_4/KARNAUGH.md
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@@ -1,97 +1,57 @@
# Les tableaux de Karnaugh
## Les tableaux de Karnaugh
------
## Introduction
La réduction, pour une même expression, du nombre d'*opérateur*s ***et / ou*** du nombre de *variables*, conduit à une écriture simplifiée de cette expression.
La simplification d'une expression booléenne consiste à réduire le nombre d'opérateurs et/ou de variables, permettant ainsi d'obtenir une version plus compacte de cette expression.
Il existe un grand nombre de méthodes de simplification d'expression booléenne, parmi lesquelles ont peut distinguer :
Plusieurs méthodes sont disponibles à cet effet, mais l'une des plus efficaces est l'utilisation du tableau de Karnaugh. Voici comment elle fonctionne :
- La simplification par **Tableau de Karnaugh**. On fait cela en quelques étapes :
- On construit un tableau de la fonction à simplifier
- On recherche les cases adjacentes qui ont pour valeur 1
- On regroupe ces cases par puissance de 2, en paquets les plus gros possibles.
- On crée un tableau pour la fonction à simplifier.
- On cherche les cellules adjacentes avec la valeur 1.
- On regroupe ces cellules en blocs de 2^n (n étant un nombre entier), en visant à faire des blocs aussi grands que possible.
Cette méthode s'avère la plus redoutable.
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------
## Construction du tableau de Karnaugh
- Tableau à 3 variables:
- En haut, on regroupe deux variables ensemble (A B)
- À gauche, on indique la troisième (C)
- S = sortie
Pour une fonction à 3 variables :
| S | 00 | 01 | 11 | 10 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 0 | | | | |
| 1 | | | | |
- On met deux variables en haut du tableau (A et B).
- On place la troisième variable sur le côté gauche (C).
- La sortie (S) est le résultat de la fonction pour chaque combinaison de valeurs des variables.
Pour une fonction à 4 variables :
- Deux variables en haut (A et B)
- Deux variables à gauche (C et D)
- Tableau à 4 variables :
- Deux variables en haut ( A B)
- Deux variables à gauche ( C D)
| U | 00 | 01 | 11 | 10 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 00 | | | | |
| 01 | | | | |
| 11 | | | | |
| 10 | | | | |
-----------
------
## Exemples
*Simplification de l'équation logique suivante :*
```math
Considérons la simplification de l'équation logique suivante :
$$
S = \overline a b \overline c \overline d + abcd + a \overline b c d + ab \overline c \overline d
```
| S | 00 | 01 | 11 | 10 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 00 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 01 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 11 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 10 | 0 | 0 | 0 | 0 |
- On regroupe les 1 collés en haut : a change d'état et est éliminé. Il reste donc :
```math
b \overline c \overline d
```
- On regroupe les 1 en bas : b change d'état et est éliminé, il reste :
```math
acd
```
On a donc une équation réduite sous forme de polynôme ou canonique en ***OU***
```math
$$
En utilisant le tableau de Karnaugh, on peut regrouper les 1 adjacents. Dans le premier regroupement (en haut du tableau), la variable a change d'état et est donc éliminée. Il reste alors :
$$
b \overline c \overline d
$$
Dans le second regroupement (en bas du tableau), la variable b change d'état et est éliminée. Il reste alors :
$$
acd
$$
L'équation logique simplifiée est donc :
$$
S = acd + b \overline c \overline d
```
$$
------
-------
En utilisant la même méthode, on peut simplifier d'autres équations logiques. Par exemple :
| S | 00 | 01 | 11 | 10 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
@@ -100,13 +60,15 @@ S = acd + b \overline c \overline d
| 11 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 10 | 1 | 0 | 0 | 0 |
```math
Est simplifiée en :
$$
S = \overline a \overline b
```
$$
------
-------
Et de même pour :
| S | 00 | 01 | 11 | 10 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
@@ -115,13 +77,15 @@ S = \overline a \overline b
| 11 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 10 | 1 | 0 | 0 | 1 |
```math
Qui devient :
$$
S = \overline b
```
$$
------
----------
Et encore une fois pour :
| S | 00 | 01 | 11 | 10 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
@@ -130,38 +94,23 @@ S = \overline b
| 11 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 10 | 1 | 0 | 0 | 1 |
```math
Qui devient :
$$
S = \overline b \overline d
```
$$
------
---------
## Exercices
## Exercices
**Simplifier à l'aide du tableau du Karnaugh l'équation logique suivante** :
```math
Essayez de simplifier l'équation logique suivante à l'aide d'un tableau de Karnaugh :
$$
T = \overline a b \overline c \overline d + ab \overline c \overline d + \overline a bc \overline d + abc\overline d + \overline a \overline b c \overline d + a \overline b c \overline d
```
| T | 00 | 01 | 11 | 10 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 00 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 01 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 11 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 10 | 1 | 1 | 1 | 1 |
-------------
D'après le tableau de Karnaugh suivant, rechercher l'équation logique réduite :
$$
Puis, en utilisant le tableau de Karnaugh ci-dessous, tentez de trouver l'équation logique réduite correspondante. Astuce : utilisez le théorème de DE MORGAN.
| U | 00 | 01 | 11 | 10 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
@@ -170,13 +119,16 @@ D'après le tableau de Karnaugh suivant, rechercher l'équation logique réduite
| 11 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 10 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Indice : utiliser le théorème de **DE MORGAN**
```math
$$
\overline U = abcd
```
$$
-------------
Auteur : Florian Mathieu
Licence CC BY NC
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