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ajout cours algo + tris

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Florian Mathieu
2022-03-17 22:54:29 +01:00
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191
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# Algorithmes de tri
> En python, on dispose de plusieurs algorithmes permettant de trier des tableaux et relativement faciles à implémenter.
Il existe un problème récurrent en informatique : le tri de données. Comme vu précédemment, on travaille souvent sur de grands nombres de données, et il faut bien trier tout ça à un moment pour plusieurs raisons :
- espace
- temps
- argents
- facilité d'utilisation
En python, deux méthodes permettent de trier les tableaux simplement par ordre croissant :
- sort()
```python
>>> l = [3, 2, 1]
>>> l.sort()
>>> l
[1, 2, 3]
```
La méthode *sort* va modifier la liste elle-même (et renvoie *None* pour éviter les confusions).
Ne fonctionne qu'avec le type *list*.
- sorted ()
```python
sorted([3, 2, 1])
[1, 2, 3]
```
Renvoie une nouvelle liste triée.
Fonctionne avec n'importe quel type *itérable*.
## Tri par insertion
### Présentation
Le tri par insertion est efficace dans le cas de tableaux de petite taille ou de tableaux triés en partie.
![insertion](assets/insertion.gif)
Le principe est ici de parcourir tous les éléments :
- Chaque élément est inséré à sa place dans les éléments déjà triés qui le précèdent
- Il n'est pas nécessaire de faire une copie de la liste
- Deux éléments égaux resteront toujours dans le même ordre
- Les éléments peuvent être fournis au fur et à mesure
Supposons un tableau suivant :
```python
tab = [9,8,5,4,7,6]
```
```python
procédure tri_insertion(tableau T)
pour i de 1 à taille(T) - 1
# mémoriser T[i] dans x
x ← T[i]
# décaler les éléments T[0]..T[i-1] qui sont plus grands que x, en partant de T[i-1]
j ← i
tant que j > 0 et T[j - 1] > x
T[j] ← T[j - 1]
j ← j - 1
# placer x dans le "trou" laissé par le décalage
T[j] ← x
```
Le tri par insertion est *naturel* dans l'esprit : on parcourt le tableau de la gauche vers la droite et pour chaque élément, on le classe dans la partie du tableau situé sur sa gauche.
### Preuve de correction
| Valeur de i | Tableau avant la boucle | Valeur de la clé | Tableau en fin de boucle |
| ----------- | ----------------------- | ---------------- | ------------------------ |
| 1 | [9,8,5,4,7,6] | 8 | [**8,9**,5,4,7,6] |
| 2 | [8,9,5,4,7,6] | 5 | [**5,8,9**,4,7,6] |
| 3 | [5,8,9,4,7,6] | 4 | [**4,5,8,9**,7,6] |
| 4 | [4,5,8,9,7,6] | 7 | [**4,5,7,8,9**,6] |
| 5 | [4,5,7,8,9,6] | 6 | [**4,5,6,7,8,9**] |
> À la fin de chaque boucle, le tableau est trié de la case n°0 à la case n°i
Une preuve de correction de l'algorithme est la propriété *p(i)* : "le tableau est trié jusqu'à la case n°i" : cette propriété est vraie **avant** et **après** chaque tour de boucle : c'est ce qu'on appelle ***Invariant de boucle***
À l'inverse, le **variant** de boucle est une expression dans la valeur varie à chaque tour de boucle et qui doit justement permettre de mettre fin à la-dite boucle : le variant d'un algorithme de tri sera alors la taile de la liste restante à trier.
### Complexité
Dans le pire des cas (éléments classés par ordre décroissant), la boucle while effectue 2n opérations : chaque tour de boucle for compte pour 2n + 3, répérées n - 1 fois. On a donc (n - 1) (2n + 3).
L'ordre de grandeur est donc de n<sup>2</sup> ou O(n<sup>2</sup> ) : on aura donc un coût **quadratique** dans le pire des cas.
Par contre si la liste est déjà triée, le coût est **linéaire**.
[Une excellente méthode pour comprendre](https://www.youtube.com/watch?v=ROalU379l3U)
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## Tri par selection
> Contrairement au tri par insertion, le tri par selection a pour avantage de déplacer moins de valeurs.
![selection](assets/selection.gif)
Principe:
- On recherche du plus petit élément et on le met à sa place (indice 0 donc)
- Puis on recherche le deuxième plus petit et on le met à l'indice 1
- Et on continue comme cela avec tous les éléments
- Il n'est pas necessaire de faire une copie de la liste
- Deux éléments égaux ne resteront pas forcément à la même place
Supposons le tableau suivant :
```python
tab = [9,8,5,4,7,6]
```
```python
procédure tri_selection(tableau t)
n ← longueur(t)
pour i de 0 à n - 2
min ← i
pour j de i + 1 à n - 1
si t[j] < t[min], alors min ← j
fin pour
si min ≠ i, alors échanger t[i] et t[min]
fin pour
fin procédure
```
> En python, pour échanger des cases, on peut écrire :
>
> ```python
> tab[i], tab[mini] = tab[mini], tab [i]
> ```
### Preuve de correction
| Valeur de i | Tableau avant la boucle | Tableau après la boucle |
| ----------- | ----------------------- | ----------------------- |
| 0 | [9,8,5,4,7,6] | [**4**,8,5,9,7,6] |
| 1 | [4,8,5,9,7,6] | [**4,5**,8,9,7,6] |
| 2 | [4,5,8,9,7,6] | [**4,5,6**,9,7,8] |
| 3 | [4,5,6,9,7,8] | [**4,5,6,7**,9,8] |
| 4 | [4,5,6,7,9,8] | [**4,5,6,7,8,9**] |
Il faut montrer l'invariant : à la fin du tour i de la boucle for, les cases tab[0] à tab[i] incluses sont à leur place définitives.
### Complexité
- La première boucle for tourne pour i variant de 0 à n-2. Elle s'effectue donc n-2 fois.
- La seconde boucle s'effectue n-1 - i fois.
- On a donc n*n en ordre de grandeur, donc la complexité est de type O(n<sup>2</sup>) : **quadratique**
[Et donc la méthode pour mieux comprendre](https://www.youtube.com/watch?v=Ns4TPTC8whw)
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#### Exercices
- Ecrire les fonctions
```python
tri_selection (tab)
```
et
```python
tri_insertion(tab)
```
qui permettent de trier différement les tableaux donnés en entrée.
Expliquer pourquoi ces algorithmes sont en O(n<sup>2</sup> ) avec vos propres mots.