From eb293874418e6bb9064ae2290ac59573272e2ecb Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Florian Mathieu Date: Mon, 4 Oct 2021 19:51:54 +0200 Subject: [PATCH] ajout fichier KARNAUGH.md --- representation_base/chapitre_4/KARNAUGH.md | 182 +++++++++++++++++++++ 1 file changed, 182 insertions(+) create mode 100644 representation_base/chapitre_4/KARNAUGH.md diff --git a/representation_base/chapitre_4/KARNAUGH.md b/representation_base/chapitre_4/KARNAUGH.md new file mode 100644 index 0000000..7fd7416 --- /dev/null +++ b/representation_base/chapitre_4/KARNAUGH.md @@ -0,0 +1,182 @@ +# Les tableaux de Karnaugh + +------ + +## Introduction + +La réduction, pour une même expression, du nombre d'*opérateur*s ***et / ou*** du nombre de *variables*, conduit à une écriture simplifiée de cette expression. + +Il existe un grand nombre de méthodes de simplification d'expression booléenne, parmi lesquelles ont peut distinguer : + +- La simplification par **Tableau de Karnaugh**. On fait cela en quelques étapes : + - On construit un tableau de la fonction à simplifier + - On recherche les cases adjacentes qui ont pour valeur 1 + - On regroupe ces cases par puissance de 2, en paquets les plus gros possibles. + +Cette méthode s'avère la plus redoutable. + +--------- + +## Construction du tableau de Karnaugh + +- Tableau à 3 variables: + - En haut, on regroupe deux variables ensemble (A B) + - À gauche, on indique la troisième (C) + - S = sortie + +| S | 00 | 01 | 11 | 10 | +| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | +| 0 | | | | | +| 1 | | | | | + + + +- Tableau à 4 variables : + - Deux variables en haut ( A B) + - Deux variables à gauche ( C D) + +| U | 00 | 01 | 11 | 10 | +| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | +| 00 | | | | | +| 01 | | | | | +| 11 | | | | | +| 10 | | | | | + + + +----------- + +## Exemples + +*Simplification de l'équation logique suivante :* + +```math +S = \overline a b \overline c \overline d + abcd + a \overline b c d + ab \overline c \overline d +``` + + + +| S | 00 | 01 | 11 | 10 | +| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | +| 00 | 0 | 1 | 1 | 0 | +| 01 | 0 | 0 | 0 | 0 | +| 11 | 0 | 0 | 1 | 1 | +| 10 | 0 | 0 | 0 | 0 | + +- On regroupe les 1 collés en haut : a change d'état et est éliminé. Il reste donc : + + ```math + b \overline c \overline d + ``` + + + +- On regroupe les 1 en bas : b change d'état et est éliminé, il reste : + + ```math + acd + ``` + + + + + +On a donc une équation réduite sous forme de polynôme ou canonique en ***OU*** + +```math +S = acd + b \overline c \overline d +``` + + + +------- + + + +| S | 00 | 01 | 11 | 10 | +| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | +| 00 | 1 | 0 | 0 | 0 | +| 01 | 1 | 0 | 0 | 0 | +| 11 | 1 | 0 | 0 | 0 | +| 10 | 1 | 0 | 0 | 0 | + +```math +S = \overline a \overline b +``` + + + +------- + +| S | 00 | 01 | 11 | 10 | +| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | +| 00 | 1 | 0 | 0 | 1 | +| 01 | 1 | 0 | 0 | 1 | +| 11 | 1 | 0 | 0 | 1 | +| 10 | 1 | 0 | 0 | 1 | + +```math +S = \overline b +``` + + + +---------- + +| S | 00 | 01 | 11 | 10 | +| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | +| 00 | 1 | 0 | 0 | 1 | +| 01 | 0 | 0 | 0 | 0 | +| 11 | 0 | 0 | 0 | 0 | +| 10 | 1 | 0 | 0 | 1 | + +```math +S = \overline b \overline d +``` + + + +--------- + +## Exercices + + + +**Simplifier à l'aide du tableau du Karnaugh l'équation logique suivante** : + +```math +T = \overline a b \overline c \overline d + ab \overline c \overline d + \overline a bc \overline d + abc\overline d + \overline a \overline b c \overline d + a \overline b c \overline d +``` + + + +| T | 00 | 01 | 11 | 10 | +| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | +| 00 | 0 | 1 | 1 | 0 | +| 01 | 0 | 0 | 0 | 0 | +| 11 | 0 | 0 | 0 | 0 | +| 10 | 1 | 1 | 1 | 1 | + +------------- + +D'après le tableau de Karnaugh suivant, rechercher l'équation logique réduite : + + + +| U | 00 | 01 | 11 | 10 | +| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | +| 00 | 1 | 1 | 1 | 1 | +| 01 | 1 | 1 | 1 | 1 | +| 11 | 1 | 1 | 0 | 1 | +| 10 | 1 | 1 | 1 | 1 | + +Indice : utiliser le théorème de **DE MORGAN** + +```math +\overline U = abcd +``` + + + + +