> Après avoir vu le parcours séquentiel d'un tableau dans le but de trouver un élèment, on va pouvoir voir une méthode bien plus efficace dans le cas d'une liste triée, **la recherche dichotomique.** ### Le programme bo_dichotomique

----------- ### Etymologie Le mot dichotomie vient du grec ancien $$ dikhotomia $$ qui signifie ***couper en deux*** ------------- ### Problème de base Supposons un tableau tab : ```python tab = [1,2,6,9,12,14,18,21,42] ``` Si on souhaite chercher un élèment, par exemple 7, en utilisant le [parcours séquentiel](PARCOURS.md) on fonctionne par balayage (avec une boucle for...) et donc parcourir la liste du début à la fin en colparant chaque valeur à l'élèment recherché. Ici par exemple, on effectuerait 9 comparaison pour finir par dire que non, 7 n'est pas présent. Dans le cas d'une liste **déjà triée**, la recherche dichotomique permet d'améliorer les performances. ----------- ### Principe - Si le tableau est vide, on renvoie False, la recherche est terminée. - Sinon, on trouve la valeur la plus *centrale* du tableau et on la compare avec l'élément recherché : - si la valeur est celle qu'on recherche, on renvoie True, la recherche est terminée. - si la valeur est plus petite que l'élèment recherché, on recommence la procédure avec la seconde moitié du tableau. - si la valeur est plus grande que l'élément recherché, on recommence avec la première moitié du tableau. ![dichotomie](assets/dichotomie.png) > Par Tushe2000 — Template:LoStrangolatore, Domaine public, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=39675138 Exercice : Montrer le nombre d'étapes nécessaires à la réussite de cette recherche. ------------- ### Complexité | Taille tableau | 0 | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | N | | ---------------------- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---------------- | | Recherche Séquentielle | 0 | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | N | | Recherche Dichotomique | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | log₂N | - Quel est le pire des cas ici ? Que l'élèment recherché ne soit pas dans le tableau. - Le nombre de tours de boucle de la recherche dichotomique est de l'ordrede log₂(n) où *n* est la taille de la liste. *Explications* Qu'est ce que le ***Logarithme***: pour faire simple, le logarithme en base n - écrit log_n correspond au nombre de division par n successive pour arriver au nombre 0. ***Exemple :*** Soit un tableau de taille 𝑛. Si on « coupe » ce tableau en deux parts égales, cela revient à diviser 𝑛 par deux à chaque itération : $n_1=\frac{n}{2}$
$n_2=\frac{n_1}{2}$
$n_3=\frac{n_2}{2}$ ***Important*** : la taille d’un tableau étant forcément un *nombre entier*, 𝑛𝑖 va devenir à un moment ou un autre égal à 1. Cela signifiera qu’après avoir divisé 𝑛 par 2 un nombre de fois égal à un certain nombre 𝑎, le tableau ne comportera plus qu’une seule valeur (et par conséquent l’algorithme s’arrête). $n_i=1=\frac{n}{2*2*...*2}=\frac{n}{2a}$ Soit : 𝑎 =log₂(𝑛) La recherche dichotomique est donc de complexité ***logarithmique***. -------- ### Terminaison Pour vérifier que la recherche dichotomique se termine bien, regardons ensemble son code python - on suppose que le tableau en entrée est déjà trié. ````python def dichotomique (tab, x) ``` :param tab: tableau contenant différents élèments déjà triés :param x: élèment recherché ``` a = 0 # on initialise la borne inférieure b = len(tab) - 1 # borne supérieure while a <= b: # tant que la borne inférieure est plus petite ou égale à la borne supérieure m = (a + b) // 2 # on se place au milieu du tableau if tab[m] == x: # si l'élément central est l'élément recherché return True # alors on a terminé elif tab[m] < x: # si l'élément central est plus petit que l'élément recherché a = m + 1 # on déplace la borne minimum vers la sous-partie droite du tableau else: #si l'élement central n'est ni plus petit ni égal à l'élément recherché, donc s'il est >... b = m - 1 #on déplace la borne supérieure vers la sous-partie gauche #si après tout ça on ne trouve pas l'élément... return False ```` ----------- Exercices : - Écrire une fonction *tableau_random*(x, i, j) qui crée un tableau de x nombres aléatoires compris entre i et j - Écrire une fonction trier_tableau (tab) qui va trier un tableau par ordre croissant. - Écrire la fonction dichotomique (tab, x) qui renvoie True si l'élément x se trouve dans tab, False sinon. ----------- Auteur : Florian Mathieu Licence CC BY NC

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