### Exercices - Algorithmes Gloutons
**Niveaux de difficulté :** Facile | Moyen | Difficile
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## Exercice 1 (Moyen) : Achat de V-Bucks (Fortnite)
Dans Fortnite, on peut acheter des V-Bucks avec les packs suivants : `{500, 1000, 2800, 5000, 13500}` V-Bucks.
Tu veux acheter exactement **8000 V-Bucks** en utilisant le moins de packs possible.
1. Appliquer l'algorithme glouton **à la main** pour obtenir 8000 V-Bucks. Combien de packs sont nécessaires ?
2. Existe-t-il une meilleure solution ?
3. Ce système est-il canonique (le glouton donne-t-il toujours l'optimal) ?
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**Question 1 : Algorithme glouton**
- On prend 5000 (le plus grand ≤ 8000) : reste 3000
- On prend 2800 : reste 200
- 200 < 500, on ne peut plus rien prendre !
L'algorithme glouton **échoue** à donner exactement 8000.
**Question 2 : Meilleure solution**
- 8000 = 5000 + 1000 + 1000 + 1000 = **4 packs**
- Ou : 8000 = 2800 + 2800 + 1000 + 1000 + 500 - 100... non ça ne marche pas non plus facilement.
En fait, 8000 = 5000 + 1000 × 3 = **4 packs** est la solution.
**Question 3 :**
Non, ce système n'est pas canonique. L'algorithme glouton ne fonctionne pas toujours car les valeurs ne sont pas des multiples les unes des autres.
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## Exercice 2 (Facile) : Playlist Spotify optimale
Tu prépares une playlist pour un trajet de **60 minutes**. Tu veux y mettre le maximum de sons parmi tes favoris :
| Titre | Artiste | Durée (min) |
|-------|---------|-------------|
| Alibi | Sevdaliza | 4 |
| La Kiffance | Naps | 3 |
| Bande organisée | Jul & SCH | 6 |
| Mood | 24kGoldn | 2 |
| Fever | Dua Lipa | 3 |
| Blinding Lights | The Weeknd | 3 |
| Peaches | Justin Bieber | 3 |
| Heat Waves | Glass Animals | 4 |
| Iko Iko | Justin Wellington | 3 |
| Astronaut in the Ocean | Masked Wolf | 2 |
**Objectif** : Maximiser le nombre de titres dans la playlist sans dépasser 60 minutes.
1. Quelle stratégie gloutonne proposez-vous ?
2. Appliquer cette stratégie. Combien de titres obtenez-vous ?
3. Quelle est la durée totale de la playlist ?
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**Question 1 : Stratégie gloutonne**
Pour maximiser le **nombre** de titres, on prend les titres **les plus courts en premier**.
**Question 2 : Application**
Tri par durée croissante :
- Mood (2 min) → total = 2
- Astronaut in the Ocean (2 min) → total = 4
- La Kiffance (3 min) → total = 7
- Fever (3 min) → total = 10
- Blinding Lights (3 min) → total = 13
- Peaches (3 min) → total = 16
- Iko Iko (3 min) → total = 19
- Alibi (4 min) → total = 23
- Heat Waves (4 min) → total = 27
- Bande organisée (6 min) → total = 33
**Tous les 10 titres** rentrent dans 60 minutes !
**Question 3 :**
Durée totale : **33 minutes**
*Note : Dans ce cas, la contrainte de 60 min n'était pas limitante. On aurait pu ajouter d'autres titres.*
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## Exercice 3 (Moyen) : Inventaire Minecraft
Tu joues à Minecraft et ton inventaire peut contenir **64 objets** maximum. Tu veux maximiser la valeur totale des objets pour le commerce avec les villageois.
| Objet | Quantité dispo | Valeur (émeraudes) | Poids (slots) |
|-------|----------------|-------------------|---------------|
| Diamant | 10 | 8 | 1 |
| Lingot d'or | 20 | 3 | 1 |
| Fer | 50 | 1 | 1 |
| Livre enchanté | 5 | 15 | 1 |
| Émeraude | 30 | 1 | 1 |
*Chaque objet prend 1 slot, mais tu ne peux pas dépasser 64 slots au total.*
1. Calculer le ratio valeur/slot pour chaque objet.
2. Appliquer l'algorithme glouton (meilleur ratio d'abord).
3. Quelle est la valeur totale obtenue ?
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**Question 1 : Ratios valeur/slot**
| Objet | Valeur | Ratio |
|-------|--------|-------|
| Livre enchanté | 15 | 15.0 |
| Diamant | 8 | 8.0 |
| Lingot d'or | 3 | 3.0 |
| Émeraude | 1 | 1.0 |
| Fer | 1 | 1.0 |
**Question 2 : Algorithme glouton**
Tri par ratio décroissant, on prend dans l'ordre :
- Livre enchanté : 5 objets → slots = 5, valeur = 75
- Diamant : 10 objets → slots = 15, valeur = 75 + 80 = 155
- Lingot d'or : 20 objets → slots = 35, valeur = 155 + 60 = 215
- Émeraude : 29 objets (64-35=29) → slots = 64, valeur = 215 + 29 = 244
**Question 3 : Valeur totale**
**244 émeraudes** avec 64 slots utilisés.
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## Exercice 4 (Difficile) : Planning de stream Twitch
Tu es streamer et tu dois planifier tes lives pour demain. Plusieurs marques te proposent des partenariats avec des créneaux imposés :
| Sponsor | Début | Fin | Rémunération |
|---------|-------|-----|--------------|
| Red Bull | 14h | 17h | 200€ |
| Logitech | 15h | 18h | 180€ |
| Samsung | 17h | 19h | 150€ |
| Razer | 18h | 20h | 120€ |
| Discord | 19h | 21h | 100€ |
| NordVPN | 20h | 22h | 90€ |
**Objectif** : Maximiser le nombre de partenariats (pas de chevauchement possible).
1. Quelle stratégie gloutonne permet de maximiser le **nombre** de streams ?
2. Appliquer cette stratégie. Quels sponsors sélectionnez-vous ?
3. Implémenter l'algorithme en Python.
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**Question 1 : Stratégie**
Pour maximiser le nombre d'activités, on trie par **heure de fin croissante** et on prend chaque activité compatible.
**Question 2 : Application**
Tri par heure de fin : Red Bull (17h), Logitech (18h), Samsung (19h), Razer (20h), Discord (21h), NordVPN (22h)
- Red Bull (14h-17h) : OK
- Logitech (15h-18h) : chevauche Red Bull, refusé
- Samsung (17h-19h) : commence à 17h, Red Bull finit à 17h, OK
- Razer (18h-20h) : chevauche Samsung, refusé
- Discord (19h-21h) : commence à 19h, Samsung finit à 19h, OK
- NordVPN (20h-22h) : chevauche Discord, refusé
**Sponsors sélectionnés : Red Bull, Samsung, Discord** = 3 streams
Rémunération totale : 200 + 150 + 100 = **450€**
**Question 3 : Code Python**
```python
def planning_stream(sponsors):
"""
sponsors : liste de tuples (nom, debut, fin, remuneration)
Retourne la liste des sponsors sélectionnés
"""
# Trier par heure de fin croissante
sponsors_tries = sorted(sponsors, key=lambda x: x[2])
selection = []
derniere_fin = 0
for nom, debut, fin, remuneration in sponsors_tries:
if debut >= derniere_fin:
selection.append((nom, debut, fin, remuneration))
derniere_fin = fin
return selection
# Exemple d'utilisation
sponsors = [
('Red Bull', 14, 17, 200),
('Logitech', 15, 18, 180),
('Samsung', 17, 19, 150),
('Razer', 18, 20, 120),
('Discord', 19, 21, 100),
('NordVPN', 20, 22, 90)
]
planning = planning_stream(sponsors)
total = sum(s[3] for s in planning)
print("Sponsors sélectionnés :")
for nom, debut, fin, remuneration in planning:
print(" ", nom, ":", debut, "h -", fin, "h (", remuneration, "€)")
print("Rémunération totale :", total, "€")
```
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## Exercice 5 (Difficile) : Draft d'Arène (jeu de cartes)
Dans le mode **Arène** d'un jeu de cartes, on ne joue pas avec sa collection : on **drafte** son deck. On t'ouvre un booster de 3 cartes, tu en gardes **une seule**, et on passe au booster suivant. **Une carte écartée est perdue pour toujours : on ne revient jamais en arrière.**
Chaque carte a une **puissance** (plus c'est haut, mieux c'est) et un **coût en mana** (le prix à payer pour la poser sur le plateau).
> **Règle de jouabilité.** Un deck de 5 cartes n'est jouable que s'il contient **au plus 2 cartes coûtant 5 manas ou plus**. Sinon, tu n'as rien à jouer pendant tes premiers tours, tu perds la partie avant d'avoir pu poser tes grosses cartes : le deck est déclaré **injouable**.
**Objectif** : obtenir le deck jouable de puissance totale maximale.
**Booster 1**
| Carte | Puissance | Coût |
|-------|-----------|------|
| Moineau vif | 2 | 1 |
| Druide chétif | 4 | 3 |
| Gardien de pierre | 5 | 5 |
**Booster 2**
| Carte | Puissance | Coût |
|-------|-----------|------|
| Acolyte du givre | 3 | 2 |
| Chevaucheur de loup | 4 | 3 |
| Abomination | 6 | 6 |
**Booster 3**
| Carte | Puissance | Coût |
|-------|-----------|------|
| Voleuse de poches | 2 | 1 |
| Sentinelle elfe | 4 | 4 |
| Ver de foudre | 8 | 7 |
**Booster 4**
| Carte | Puissance | Coût |
|-------|-----------|------|
| Mage novice | 1 | 1 |
| Alchimiste fou | 3 | 2 |
| Dragon de givre | 9 | 8 |
**Booster 5**
| Carte | Puissance | Coût |
|-------|-----------|------|
| Bouffon du roi | 3 | 2 |
| Capitaine pirate | 5 | 4 |
| Kraken des profondeurs | 6 | 6 |
1. Applique la stratégie gloutonne la plus naturelle : **à chaque booster, prendre la carte la plus puissante**. Quel deck obtiens-tu ? Quelle est sa puissance totale ? Est-il jouable ?
2. Corrige la stratégie pour qu'elle respecte la règle : **à chaque booster, prendre la carte la plus puissante parmi celles qu'on a encore le droit de prendre**. Quel deck obtiens-tu ? Quelle est sa puissance ?
3. Trouve un deck jouable **strictement meilleur** que celui de la question 2. Où l'algorithme glouton s'est-il fait piéger ?
4. Le problème vient d'un choix fait au booster 1. Pourquoi l'algorithme glouton ne peut-il pas le corriger une fois arrivé au booster 4 ?
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**Question 1 : glouton naïf**
| Booster | Carte prise | Puissance | Coût |
|---------|-------------|-----------|------|
| 1 | Gardien de pierre | 5 | 5 |
| 2 | Abomination | 6 | 6 |
| 3 | Ver de foudre | 8 | 7 |
| 4 | Dragon de givre | 9 | 8 |
| 5 | Kraken des profondeurs | 6 | 6 |
Puissance totale : **34**... mais le deck contient **5 cartes à 5 manas ou plus**, alors que la limite est de 2.
Le deck est **injouable**. L'algorithme glouton n'a pas donné un résultat « un peu moins bon » : il a donné un résultat **inutilisable**. En ne regardant que la puissance, il a complètement ignoré la contrainte de coût.
**Question 2 : glouton contraint**
On compte au fur et à mesure les cartes chères déjà prises.
| Booster | Cartes autorisées | Carte prise | Puissance | Cartes chères |
|---------|-------------------|-------------|-----------|---------------|
| 1 | toutes (0 chère prise) | Gardien de pierre (5) | 5 | 1 / 2 |
| 2 | toutes (1 chère prise) | Abomination (6) | 6 | 2 / 2 |
| 3 | quota plein → seulement les cartes < 5 manas | Sentinelle elfe (4) | 4 | 2 / 2 |
| 4 | quota plein | Alchimiste fou (3) | 3 | 2 / 2 |
| 5 | quota plein | Capitaine pirate (5) | 5 | 2 / 2 |
Deck jouable, puissance totale : **23**.
**Question 3 : mieux**
Deck optimal : Druide chétif (4) + Chevaucheur de loup (4) + **Ver de foudre (8)** + **Dragon de givre (9)** + Capitaine pirate (5) = **30**.
Il ne contient bien que 2 cartes chères (Ver de foudre et Dragon de givre), il est donc jouable.
**Le piège** : le glouton a dépensé ses 2 places de cartes chères dès les boosters 1 et 2, pour des gains ridicules.
- Au booster 1, prendre le Gardien de pierre (5) au lieu du Druide chétif (4) rapporte **+1**.
- Au booster 2, prendre l'Abomination (6) au lieu du Chevaucheur de loup (4) rapporte **+2**.
- Mais au booster 3, le Ver de foudre (8) au lieu de la Sentinelle elfe (4) rapportait **+4**.
- Et au booster 4, le Dragon de givre (9) au lieu de l'Alchimiste fou (3) rapportait **+6**.
Le glouton a payé +1 et +2 des places qui valaient +4 et +6. Il a fait deux fois le meilleur choix **du moment**, et c'est précisément ce qui l'a ruiné.
**Question 4 :**
Parce que c'est la définition même d'un algorithme glouton : **il ne revient jamais sur un choix déjà fait**. Arrivé au booster 4, il « voit » bien que le Dragon de givre serait excellent, mais son quota est plein et le Gardien de pierre est déjà dans le deck — il ne peut plus l'échanger.
Ici la règle du jeu et la règle de l'algorithme coïncident : dans un draft, une carte écartée est réellement perdue.
Plus profondément, au booster 1 l'algorithme **n'avait aucun moyen de savoir** qu'un Dragon de givre l'attendait au booster 4 : il décide avec une vision purement locale. C'est pour cela qu'un algorithme glouton est une **heuristique** — il donne vite une solution correcte, pas forcément la meilleure.
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## Exercice 6 (Moyen) : Réflexion
1. Dans l'exercice 4, on a maximisé le **nombre** de streams. Si on voulait maximiser la **rémunération totale**, l'algorithme glouton donnerait-il le même résultat ?
2. Parmi ces situations, lesquelles peuvent être résolues de manière optimale par un algorithme glouton ?
- Choisir les meilleurs joueurs pour une équipe FIFA (budget limité)
- Organiser l'ordre de visionnage de films sur Netflix (minimiser le temps total)
- Rendre la monnaie avec des pièces européennes
- Trouver le chemin le plus court dans Google Maps
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**Question 1 :**
Non ! Pour maximiser la rémunération, l'algorithme glouton pourrait donner un résultat différent.
Avec notre solution (Red Bull + Samsung + Discord) : 450€
Si on avait pris Red Bull (200€) + Razer (120€) + NordVPN (90€) : 410€ (moins bien)
Mais que se passe-t-il si on prend Logitech (180€) + Discord (100€) = 280€ ? C'est pire.
En fait, pour ce problème précis, la solution gloutonne par heure de fin est bonne, mais **maximiser la rémunération** est un problème différent (problème du sac à dos déguisé) qui ne se résout pas toujours de manière optimale avec un glouton.
**Question 2 :**
| Situation | Optimal avec glouton ? |
|-----------|------------------------|
| Équipe FIFA (budget) | Non (c'est un sac à dos) |
| Ordre films Netflix | Ça dépend du critère... |
| Monnaie européenne | Oui (système canonique) |
| Google Maps | Non (Dijkstra n'est pas vraiment glouton au sens strict, mais utilise une approche similaire) |
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Auteur : Florian Mathieu
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