Il vous est déjà arrivé de prendre des décisions en suivant une logique. Dans la vie vous suivez la votre, en prenant des conseils, ou de par ce que vous avez appris à l'école. C'est donc quelque chose général.
Dans notre premier cas, nous avons en **instance de départ :** un entier naturel, qui, après être traité via le **paramètre** choisi (Si reste = 0 après une division par 2, alors nombre est pair) dans **l'algorithme**, ressortira en une réponse simple : *Oui* ou *Non* selon la **décision** prise.
En informatique ou mathématiques, on peut parler d'une **fonction algorithmique**. Quand le résultat de celle-ci, c'est-à-dire ce qu'elle *renvoie*, est un booléen, on parle de ***prédicat***.
> **Exemple** : « Ce chemin passe-t-il par tous les sommets du graphe ? » est une question dont la réponse est Vrai ou Faux : la fonction qui y répond est bel et bien un prédicat.
Si, pour réponse à un problème, on peut en écrire un algorithme permettant la prise de décision et donc amenant à la résolution du dit problème, on parlera de problème ***décidable*** ou de <u>**décidabilité**</u>
Et donc, par extension, si un problème n'est pas soluble, on utilisera le terme ***Indécidabilité***
En informatique, plus précisément dans la branche dite de programmation, nous utilisons un langage qui nous est propre afin de mettre en place nos idées dans un algorithme.
Cela ne signifie pas pour autant que cet algorithme fonctionne : pour cela il faut vérifier que la propriété qu'on appelle ***Terminaison*** est bien respectée, et que l'algorithme nous mène bien à la réponse souhaitée.
On parlera également d'algorithme de ***haut niveau***: l'algorithme doit pouvoir être traduit en n'importe quel langage de programmation, il ne doit donc pas faire appel à des notions techniques relatives à un programme particulier ou bien à un système d'exploitation donné.
Quel rapport avec la calculabilité ? Et bien une fonction mathématique, que l'on peut retranscrire sous forme d'algorithme afin de la programmer dans un langage informatique utilisé, est dite ***Calculable***
En 1936, un mathématicien américain, du nom d'Alonzo Church, formule ce qu'on appellera la "thèse de Church" (la même année, Alan Turing arrive indépendamment à un résultat équivalent avec sa machine). Cette thèse affirme la notion de calculabilité : Tout traitement d'un système réalisable par un processus quel qu'il soit, peut être exprimé par un ensemble de règles de calcul.
Cet ensemble est défini lui même par les règles de calcul dont on prouve mathématiquement l'équivalence.
Cette thèse propose les règles suivante en matière d'algorithme :
1. L'algorithme consiste en un ensemble fini d'instructions simples et précises
qui sont décrites avec un nombre limité de symboles.
2. L'algorithme doit toujours produire le résultat en un nombre fini d'étapes.
3. L'algorithme peut être suivi par un humain avec seulement du papier et un crayon.
4. L'exécution de l'algorithme ne requiert pas d'intelligence de l'humain
sauf celle qui est nécessaire pour comprendre et exécuter les instructions.
### Trop long, j'ai pas lu !
Pour résumer : une fonction mathématique qui fonctionne selon un modèle existant fonctionnera dans n'importe quel modèle.
Si vous décidez de programmer une fonction qui vous dit si un nombre est pair en python, votre fonction devrait fonctionner dans un autre langage, pourvu que vous utilisiez les "codes" de ce langage.
Ici, en NSI, nous utilisons le langage Python, mais nous pourrions parfaitement transposer nos codes en C++, Java ou autre.
### Et la calculabilité dans tout ça ?
Revenons au prédicat : si une fonction renvoie un prédicat, et que celui là est dit calculable, alors la prise de décision est possible. Une fonction calculable permet donc l'emergence de décisions décidables.
Ce qui signifie qu'il existe un algorithme permettant la résolution de cette fonction, ou d'un problème amené par la fonction, et si un algorithme existe, alors nous sommes en mesure de programmer la fonction dans n'importe quel langage.
Une propriété est dite décidable si l'on peut déterminer son résultat (vrai ou faux) en un nombre fini d'étapes
C'est le principe même d'un algorithme, ou d'une recette de cuisine par exemple : on indique un nombre d'étapes qui doit mener, à terme, à un résultat.
Pour un problème, c'est la même chose : si l'on peut écrire un programme qui renvoit un prédicat permettant de calculer la réponse au problème de départ, alors on parlera de ***problème décidable***.
Nous allons définir une fonction $f : \mathbb{N} \rightarrow \{\text{Vrai}, \text{Faux}\}$ telle que $f(n)$ est vraie si et seulement si $n \bmod 2 = 0$.
Nous savons que ce problème est résoluble et donc ***décidable***
Son algorithme est très simple : il suffit de diviser par 2 et d'observer le reste de la division : si celui ci est égal à 0, alors il s'agit d'un nombre pair. Sinon, ce nombre est impair.
On peut maintenant écrire notre algorithme sous forme de langage python :
```python
def est_pair(n):
''' Renvoie un prédicat exprimant le résultat de n modulo 2
Si le reste est nul, alors le prédicat est vrai et le nombre n est pair, sinon, il est impair.
'''
return n % 2 == 0
```
```python
>>>est_pair(42)
>>>True
>>>est_pair(113)
>>>False
```
Si ce code fonctionne, il ne faut pas oublier une chose : ça n'est pas la seule solution existante au problème : puisque ce problème est décidable, vous pouvez écrire votre propre algorithme qui fera tout aussi bien !
*Remarque : cette version renvoie bien un booléen, comme la première. Une fonction qui renverrait une chaîne de caractères comme `"42 est Pair"` ne serait pas un prédicat !*
Et bien non ! Disons le tout de suite, il existe un nombre de problèmes que l'on ne peut résoudre par un simple algorithme. On parlera de ***Problèmes Indécidables*** !
Pour prouver qu'un problème est *décidable*, il suffit d'exhiber un algorithme qui le résout et qui se termine toujours. Mais pour prouver qu'un problème est *indécidable*, c'est bien plus difficile : il faut démontrer qu'**aucun** algorithme, même parmi ceux qu'on n'a pas encore inventés, ne pourra jamais le résoudre.
En 1936, le mathématicien britannique **Alan Turing** démontre qu'il est impossible d'écrire un algorithme qui, pour n'importe quel programme et n'importe quelle entrée, dirait avec certitude si ce programme s'arrête ou tourne à l'infini.
Sa démonstration repose sur un **raisonnement par l'absurde** : on suppose qu'un tel algorithme existe, et on montre que cette supposition mène inévitablement à une contradiction.
Supposons que l'on puisse écrire une fonction arret, capable de dire si une fonction programme va s'arrêter dans tous les cas ou s'il existe des cas où elle ne s'arrête pas.
Il n'est, dans notre exemple, absolument pas certain qu'une telle fonction existe.
Si une telle fonction existait, on pourrait l'utiliser pour résoudre `absurde(absurde)` - et on vient de montrer que c'est impossible. Le problème de l'arrêt est donc **indécidable** : aucun algorithme ne peut le résoudre.
Dans tout système logique suffisamment puissant pour décrire l'arithmétique, il existe des énoncés **vrais mais indémontrables** dans ce système. Autrement dit, les mathématiques ont des limites intrinsèques : certaines vérités échappent à toute preuve formelle.
Il n'existe **aucun algorithme** capable de déterminer, pour tout programme et toute entrée, si ce programme s'arrête ou tourne indéfiniment. Le problème de l'arrêt est indécidable.
**Le lien entre les deux**
Ces deux résultats sont distincts mais convergent vers la même idée : il existe des **limites fondamentales** à ce que la logique formelle et le calcul algorithmique peuvent résoudre. Certains problèmes sont hors de portée, non pas par manque de puissance de calcul, mais par nature.
| | Turing (programme) | Gödel (pour aller plus loin) |
| Résultat | Il existe des problèmes insolubles par algorithme | Il existe des vérités indémontrables dans tout système formel |
| Exemple clé | Problème de l'arrêt | Théorème d'incomplétude (1931) |
--------
## Pour aller plus loin : Kurt Gödel et l'incomplétude
> ⚠️ Cette section est hors programme NSI.
En 1931, le mathématicien autrichien **Kurt Gödel** énonce son **théorème d'incomplétude**, qui bouleverse les mathématiques.
### Ce qu'il prouve
Dans tout système logique suffisamment puissant pour décrire l'arithmétique (l'addition, la multiplication sur les entiers), il existe des énoncés qui sont **vrais mais indémontrables** dans ce système.
Autrement dit : les mathématiques ne peuvent pas tout prouver. Certaines vérités leur échappent structurellement.
Gödel travaille sur la notion d'**axiome** : une proposition qu'on accepte comme vraie sans la démontrer, et qui sert de point de départ à un raisonnement.
Les deux résultats disent, chacun à leur manière, qu'il existe des questions auxquelles ni les mathématiques ni les ordinateurs ne peuvent répondre - non par manque de puissance, mais par nature.
<arel="license"href="http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/"><imgalt="Licence Creative Commons"style="border-width:0"src="https://i.creativecommons.org/l/by-nc-sa/4.0/88x31.png"/></a><br/>Ce cours est mis à disposition selon les termes de la <arel="license"href="http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/">Licence Creative Commons Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Partage dans les Mêmes Conditions 4.0 International</a>.
