TermNSI/Graphes/Corrige_Exercices.md

# Corrigé des Exercices sur les Graphes

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## Exercice 1 : Réseau social (README.md)

### Rappel du graphe

```
    A --- B
   /|\    |
  / | \   |
 C  |  D--+
  \ | /|
   \|/ |
    E--F
```

Avec :
- A ami avec B, C, D
- B ami avec A, D
- C ami avec A, E, D
- D ami avec A, B, C, E, F
- E ami avec C, D, F
- F ami avec E, D

### 1°) Degré des sommets

| Sommet | Voisins | Degré |
|--------|---------|-------|
| A | B, C, D | 3 |
| B | A, D | 2 |
| C | A, E, D | 3 |
| D | A, B, C, E, F | 5 |
| E | C, D, F | 3 |
| F | E, D | 2 |

**Vérification** : Somme des degrés = 3+2+3+5+3+2 = 18 = 2 × 9 arêtes ✓

### 2°) Ordre du graphe

L'ordre du graphe est **6** (il y a 6 sommets : A, B, C, D, E, F).

### 3°) Ce graphe est-il complet ?

**Non**, ce graphe n'est pas complet.

Dans un graphe complet d'ordre 6, chaque sommet serait de degré 5 (relié à tous les autres).

Contre-exemples :
- A n'est pas relié à E et F
- B n'est pas relié à C, E et F

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## Exercice 2 : Matrice d'adjacence du réseau social

En numérotant les sommets dans l'ordre alphabétique (A, B, C, D, E, F) :

|   | A | B | C | D | E | F |
|---|---|---|---|---|---|---|
| A | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| B | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| C | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| D | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| E | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| F | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |

**En Python :**

```python
M = [
    [0, 1, 1, 1, 0, 0],
    [1, 0, 0, 1, 0, 0],
    [1, 0, 0, 1, 1, 0],
    [1, 1, 1, 0, 1, 1],
    [0, 0, 1, 1, 0, 1],
    [0, 0, 0, 1, 1, 0]
]
```

**Remarque** : La matrice est symétrique car le graphe est non orienté.

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## Exercice 3 : Réseau social d'Arthur (EXERCICES.md)

### Graphe

```
Arthur ---- Benoit ---- Coralie
   |                   /   |
   |                  /    |
Elodie ---- Franck ---- David
```

### Représentation par dictionnaire

```python
G = {
    'Arthur': ['Benoit', 'Elodie'],
    'Benoit': ['Arthur', 'Coralie'],
    'Coralie': ['Benoit', 'Franck', 'David'],
    'David': ['Coralie', 'Franck', 'Elodie'],
    'Elodie': ['Arthur', 'David', 'Franck'],
    'Franck': ['Coralie', 'David', 'Elodie']
}
```

### Matrice d'adjacence

En ordre alphabétique : Arthur, Benoit, Coralie, David, Elodie, Franck

|         | Arthur | Benoit | Coralie | David | Elodie | Franck |
|---------|--------|--------|---------|-------|--------|--------|
| Arthur  | 0      | 1      | 0       | 0     | 1      | 0      |
| Benoit  | 1      | 0      | 1       | 0     | 0      | 0      |
| Coralie | 0      | 1      | 0       | 1     | 0      | 1      |
| David   | 0      | 0      | 1       | 0     | 1      | 1      |
| Elodie  | 1      | 0      | 0       | 1     | 0      | 1      |
| Franck  | 0      | 0      | 1       | 1     | 1      | 0      |

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## Exercice 4 : Village d'Eva (graphe orienté pondéré)

### Graphe

```
                    École
                   /  |  \
                 3↓  4↑   6↕
                 /    |    \
    Boulangerie ←─── Mairie  Salle des fêtes
         ↓  ↕2        ↕7         ↕5
        4↓  Bureau    Église    Boucherie
         ↓  de poste
    Boucherie
```

**Sommets** : Boulangerie, Bureau de poste, École, Boucherie, Église, Mairie, Salle des fêtes

**Arêtes orientées avec poids** :
- Boulangerie ↔ Bureau de poste : 2 min (double sens)
- École → Boulangerie : 3 min (sens unique)
- Boulangerie → Boucherie : 4 min (sens unique)
- École → Église : 3 min (sens unique)
- Mairie → École : 4 min (sens unique)
- École ↔ Salle des fêtes : 6 min (double sens)
- Boucherie ↔ Salle des fêtes : 5 min (double sens)
- Mairie ↔ Église : 7 min (double sens)

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## Exercice 5 : Ordre et degrés (img2.PNG)

*(Réponse basée sur l'image du fichier)*

Pour déterminer l'ordre : compter le nombre de sommets.

Pour déterminer le degré de chaque sommet : compter le nombre d'arêtes incidentes.

**Méthode générale :**
```python
def ordre(graphe):
    return len(graphe)

def degre(graphe, sommet):
    return len(graphe[sommet])

def degres(graphe):
    return {s: len(v) for s, v in graphe.items()}
```

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## Exercice 6 : Dictionnaire et matrice (img3.PNG)

*(Réponse basée sur l'image du fichier)*

**Méthode pour créer le dictionnaire :**

```python
# Lire les sommets et leurs voisins depuis le graphe
G = {}
# Pour chaque sommet, lister ses voisins
# G['A'] = ['B', 'C', ...]
```

**Méthode pour créer la matrice d'adjacence :**

```python
def creer_matrice(graphe):
    sommets = list(graphe.keys())
    n = len(sommets)
    matrice = [[0] * n for _ in range(n)]

    for i, s1 in enumerate(sommets):
        for j, s2 in enumerate(sommets):
            if s2 in graphe[s1]:
                matrice[i][j] = 1

    return matrice
```

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Auteur : Florian Mathieu

Licence CC BY-SA

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