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# TP - Le Donjon du Dragon

## Contexte

Vous jouez à un RPG en vue du dessus. Vous venez d'entrer dans un donjon représenté par une **grille de n lignes et m colonnes**.

Chaque case de la grille contient une quantité d'or :
- Une valeur **positive** : de l'or à ramasser 🪙
- Une valeur **négative** : un piège qui vous coûte de l'or 💀

**Règles du jeu :**
- Vous commencez en haut à gauche : case `(0, 0)`
- Vous devez atteindre la sortie en bas à droite : case `(n-1, m-1)`
- Vous ne pouvez vous déplacer **que vers la droite ou vers le bas**
- Vous souhaitez **maximiser l'or total ramassé**

**Exemple de grille 3×4 :**

```
[  3,  -1,   4,   1 ]
[  5,   9,  -2,   6 ]
[ -3,   2,   8,  -5 ]
```

Un chemin possible : (0,0)→(1,0)→(1,1)→(1,2)→(2,2)→(2,3) → or = 3+5+9-2+8-5 = **18**

Est-ce le meilleur chemin ? C'est ce que vous allez découvrir.

## Partie 1 - Comprendre le problème

**Question 1.** Sur la grille ci-dessus, listez tous les chemins possibles de `(0,0)` à `(2,3)` en ne se déplaçant que vers la droite ou vers le bas. Combien y en a-t-il ?

**Question 2.** Pour chaque chemin, calculez l'or total ramassé. Quel est le chemin optimal ?

**Question 3.** Pour une grille de dimensions `n × m`, combien y a-t-il de chemins possibles en tout ? *(Indice : c'est une formule combinatoire.)*

## Partie 2 - Formulation récursive

Notons `donjon(i, j)` l'or maximum qu'on peut ramasser depuis `(0, 0)` jusqu'à `(i, j)`.

**Question 4.** Quels sont les cas de base de cette fonction récursive ? *(Pensez aux bords de la grille.)*

**Question 5.** Écrivez la relation de récurrence générale pour `donjon(i, j)` quand `i > 0` et `j > 0`.

**Question 6.** Implémentez la version naïve `donjon_naif(grille, i, j)` :

```python
def donjon_naif(grille, i, j):
    # À compléter
    pass

# Test
grille = [
    [ 3, -1,  4,  1],
    [ 5,  9, -2,  6],
    [-3,  2,  8, -5]
]
n, m = len(grille), len(grille[0])
print(donjon_naif(grille, n-1, m-1))   # doit afficher 22
```

## Partie 3 - Version Top-Down (mémoïsation)

**Question 7.** La version naïve recalcule-t-elle des sous-problèmes plusieurs fois ? Pour répondre, ajoutez un compteur d'appels et testez sur la grille ci-dessus.

**Question 8.** Implémentez `donjon_memo(grille)` avec mémoïsation :

```python
def donjon_memo(grille):
    n = len(grille)
    m = len(grille[0])
    memo = {}

    def donjon(i, j):
        # À compléter
        pass

    return donjon(n - 1, m - 1)
```

**Question 9.** Vérifiez que vous obtenez le même résultat que la version naïve.

## Partie 4 - Version Bottom-Up (tableau)

**Question 10.** Remplissez à la main le tableau `t[i][j]` représentant l'or maximum qu'on peut ramasser **depuis `(0,0)` jusqu'à `(i,j)`** pour la grille de l'exemple.

**Question 11.** Implémentez `donjon_bottom_up(grille)` :

```python
def donjon_bottom_up(grille):
    n = len(grille)
    m = len(grille[0])
    tableau = [[0] * m for _ in range(n)]

    # Initialiser tableau[0][0]
    # Initialiser la première ligne (on ne peut aller que vers la droite)
    # Initialiser la première colonne (on ne peut aller que vers le bas)
    # Remplir le reste du tableau
    # À compléter

    return tableau[n - 1][m - 1]
```

**Question 12.** Vérifiez que vous obtenez le même résultat que les versions précédentes.

## Partie 5 - Bonus : retrouver le chemin optimal

**Question 13.** *(Bonus)* Modifiez `donjon_bottom_up` pour qu'elle retourne non seulement la valeur optimale, mais aussi **la liste des cases du chemin optimal**.

*(Indice : une fois le tableau rempli, remontez depuis `(n-1, m-1)` vers `(0,0)` en choisissant à chaque étape la case voisine (gauche ou haut) qui a la plus grande valeur.)*

```python
def donjon_chemin(grille):
    # À compléter
    # Retourne (valeur_max, chemin)
    # chemin = liste de tuples (i, j) de (0,0) à (n-1, m-1)
    pass
```

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Auteur : Florian Mathieu

Licence CC BY NC

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