Il vous est déjà arrivé de prendre des décisions en suivant une logique. Dans la vie vous suivez la votre, en prenant des conseils, ou de par ce que vous avez appris à l'école. C'est donc quelque chose général.
On peut par exemple prendre des problèmes assez élémentaires :
- X est il un nombre pair ?
- Y est il une puissance de 3 ?
- Dans un graphe, quel est le chemin le plus court passant par tous les sommets ?
Dans notre premier cas, nous avons en **instance de départ :** un entier naturel, qui, après être traité via le **paramètre** choisi (Si reste = 0 après une division par 2, alors nombre est pair) dans **l'algorithme**, ressortira en une réponse simple : *Oui* ou *Non* selon la **décision** prise.
En informatique ou mathématiques, on peut parler d'une **fonction algorithmique**. Quand le résultat de celle-ci, c'est-à-dire ce qu'elle *renvoie*, est un booléen, on parle de ***prédicat***.
> La réponse à un problème de décision est donc soit un booléen, soit une valeur qui permet de répondre à un prédicat.
>
> **Exemple** : Dans un graphe, connaître le nombre de sommets permet de répondre à la question : « Le chemin que j'ai choisi est-il le plus court passant par tous les sommets de ce graphe ? »
>
> Question dont la réponse est bel et bien un prédicat.
Si, pour réponse à un problème, on peut en écrire un algorithme permettant la prise de décision et donc amenant à la résolution du dit problème, on parlera de problème ***décidable*** ou de <u>**décidabilité**</u>
Et donc, par extension, si un problème n'est pas soluble, on utilisera le terme ***Indécidabilité***
En informatique, plus précisément dans la branche dite de programmation, nous utilisons un langage qui nous est propre afin de mettre en place nos idées dans un algorithme.
Cela ne signifie pas pour autant que cet algorithme fonctionne : pour cela il faut vérifier que la propriété qu'on appelle ***Terminaison*** est bien respectée, et que l'algorithme nous mène bien à la réponse souhaitée.
On parlera également d'algorithme de ***haut niveau***: l'algorithme doit pouvoir être traduit en n'importe quel langage de programmation, il ne doit donc pas faire appel à des notions techniques relatives à un programme particulier ou bien à un système d'exploitation donné.
Quel rapport avec la calculabilité ? Et bien une fonction mathématique, que l'on peut retranscrire sous forme d'algorithme afin de la programmer dans un langage informatique utilisé, est dite ***Calculable***
### Un peu d'histoire
En 1943, un mathématicien américain, du nom d'Alonzo Church définit une thèse dite "thèse de Church" qui affirme la notion de calculabilité : Tout traitement d'un système réalisable par un processus quel qu'il soit, peut être exprimé par un ensemble de règles de calcul.
Cet ensemble est défini lui même par les règles de calcul dont on prouve mathématiquement l'équivalence.
Cette thèse propose les règles suivante en matière d'algorithme :
1. L'algorithme consiste en un ensemble fini d'instructions simples et précises
qui sont décrites avec un nombre limité de symboles.
2. L'algorithme doit toujours produire le résultat en un nombre fini d'étapes.
3. L'algorithme peut être suivi par un humain avec seulement du papier et un crayon.
4. L'exécution de l'algorithme ne requiert pas d'intelligence de l'humain
sauf celle qui est nécessaire pour comprendre et exécuter les instructions.
### Trop long, j'ai pas lu !
Pour résumer : une fonction mathématique qui fonctionne selon un modèle existant fonctionnera dans n'importe quel modèle.
Si vous décidez de programmer une fonction qui vous dit si un nombre est pair en python, votre fonction devrait fonctionner dans un autre langage, pourvu que vous utilisiez les "codes" de ce langage.
Ici, en NSI, nous utilisons le langage Python, mais nous pourrions parfaitement transposer nos codes en C++, Java ou autre.
### Et la calculabilité dans tout ça ?
Revenons au prédicat : si une fonction renvoie un prédicat, et que celui là est dit calculable, alors la prise de décision est possible. Une fonction calculable permet donc l'emergence de décisions décidables.
Ce qui signifie qu'il existe un algorithme permettant la résolution de cette fonction, ou d'un problème amené par la fonction, et si un algorithme existe, alors nous sommes en mesure de programmer la fonction dans n'importe quel langage.
Une propriété est dite décidable si l'on peut déterminer son résultat (vrai ou faux) en un nombre fini d'étapes
C'est le principe même d'un algorithme, ou d'une recette de cuisine par exemple : on indique un nombre d'étapes qui doit mener, à terme, à un résultat.
Pour un problème, c'est la même chose : si l'on peut écrire un programme qui renvoit un prédicat permettant de calculer la réponse au problème de départ, alors on parlera de ***problème décidable***.
Nous allons définir une fonction $f : \mathbb{N} \rightarrow \{\text{Vrai}, \text{Faux}\}$ telle que $f(n)$ est vraie si et seulement si $n \bmod 2 = 0$.
Nous savons que ce problème est résoluble et donc ***décidable***
Son algorithme est très simple : il suffit de diviser par 2 et d'observer le reste de la division : si celui ci est égal à 0, alors il s'agit d'un nombre pair. Sinon, ce nombre est impair.
On peut maintenant écrire notre algorithme sous forme de langage python :
```python
def est_pair(n):
''' Renvoie un prédicat exprimant le résultat de n modulo 2
Si le reste est nul, alors le prédicat est vrai et le nombre n est pair, sinon, il est impair.
'''
return n % 2 == 0
```
```python
>>>est_pair(42)
>>>True
>>>est_pair(113)
>>>False
```
Si ce code fonctionne, il ne faut pas oublier une chose : ça n'est pas la seule solution existante au problème : puisque ce problème est décidable, vous pouvez écrire votre propre algorithme qui fera tout aussi bien !
Par exemple :
```python
def est_pair2(n):
if (n % 2) == 0:
return("{0} est Pair".format(n))
else:
return("{0} est Impair".format(n))
```
```python
>>>est_pair2(113)
>>>'113 est Impair'
>>>est_pair2(42)
>>>'42 est Pair'
```
Nous avons bien la preuve que le problème " Peut-on prouver qu'un nombre est pair" est bel et bien décidable.
Et bien non ! Disons le tout de suite, il existe un nombre de problèmes que l'on ne peut résoudre par un simple algorithme. On parlera de ***Problèmes Indécidables*** !
La question qui se pose à nous est de savoir comment reconnaitre un problème indécidable.
Et à l'heure actuelle, nous ne disposons pas de machine magique permettant de nous donner cette information.
Pour déduire l'indécidabilité d'un programme, il faut un algorithme répondant à ce problème et également la preuve qu'il se termine.
En mathématiques, on utilise le ***problème de l'arrêt***
### Un peu plus d'histoire...
En 1931, Kurt Gödel, mathématicien et logicien autrichien, énonce son théorème d'incomplétude.
Il y établit qu'une théorie suffisante pour y démontrer les théorèmes de base de l'arithmétique -la partie des mathématiques qui s'occupe des nombres, en opposition à la géométrie - est nécessairement incomplète, au sens où il existe des énoncés qui n'y sont ni démontrables, ni réfutables . On parle alors d'énoncés indécidables dans la théorie.
Note : Il s'agit de la définition Wikipédia
Il parle également d'***Axiomes***
Un axiome est une proposition non démontrée que l'on va utiliser pour tenter de résoudre un problème.
C'est à dire qu'on va partir d'une hypothèse qu'on supposera vraie, pour essayer d'aller au bout du raisonnement.
Cela nous ramènera donc à des décisions logiques qui en découleront.
Et enfin, en testant l'opposé, on pourra savoir si notre problème est décidable ou pas !
Revenons à notre problème d'arrêt : Il s'agit d'un problème de décision qui determine si le programme s'arrête ou non. Pratique ? C'est exactement ce que l'on cherche justement.
Oui mais :En 1936, Alan Turing démontre son indécidabilité.
#### Attendez, le programme qui determine l'indécidabilité est lui même indécidable ??
En effet, on va user d'un raisonnement par l'absurde pour montrer que ce qu'on pense vrai est en réalité faux.
En supposant que ce que l'on veut vrai, soit faux, avec une pensée logique, on peut et doit, aboutir à une contradiction qui établira que ce que l'on pense donc vrai, est faux.
#### Vous suivez toujours ?
Supposons que l'on puisse écrire une fonction arret, capable de dire si une fonction programme va s'arrêter dans tous les cas ou s'il existe des cas où elle ne s'arrête pas.
Il n'est, dans notre exemple, absolument pas certain qu'une telle fonction existe.
Nous venons donc de prouver l'impossible. Pas mal non ?
#### Quand le possible et l'impossible se mélangent...Possimpible ?
Turing prouve donc qu'il n'est pas possible d'inventer une fonction prouvant qu'une autre donnée se termine.
Si la machine ne peut nous aider, il vous faudra donc, en tant qu'humain, toujours assurer le contrôle de votre code.
### Question : Que peut-on en déduire ?
On peut retenir deux choses de notre exemple : Le fameux théorème de Kurt Gödel, qui traite de l'indécidabilité, n'est pas vérifiable puisque qu'on ne peut vérifier la décidabilité de tous les sytèmes, dès lors que la fonction qui doit nous y aider n'est elle même pas décidable !
Pour comprendre la démonstration de tout cela, il nous aura fallu analyser la démonstration en elle même, et non pas essayer de démontrer ce qu'elle prouve. Ce qui laisse perplexe quant à la véracité de certaines affirmations.
Enfin, on peut se demander une chose. Puisque nous avons une donnée en entrée d'une fonction, et une donnée en sortie...Une fonction ne serait-elle pas uniquement que données ?
Finalement, quand on regarde un programme, qu'est ce que c'est ? Exemple en python : un fichier texte avec une extension.
Sous un système unix, absolument tous les fichiers ne sont que du texte ! Pire : dans notre exemple, nous utilisons un programme comme donnée d'un autre programme !
Et si tout est donnée, alors cela expliquerait pourquoi la logique tient une si grande importance dans notre environnement.
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Auteur : Florian Mathieu
Licence CC BY NC
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