suppression de certains tirets

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@@ -194,7 +194,7 @@ Sa démonstration repose sur un **raisonnement par l'absurde** : on suppose qu'u
#### Le programme qui détermine l'arrêt est lui-même indécidable
On peut même dire *absurde* et c'est justement le mot qu'on va utiliser.
On peut même dire *absurde* - et c'est justement le mot qu'on va utiliser.
En raisonnement par l'absurde, on suppose vraie la chose qu'on veut réfuter, puis on montre que cette hypothèse aboutit à une contradiction logique.
@@ -255,7 +255,7 @@ Nous venons donc de prouver l'impossible. Pas mal non ?
Turing prouve donc qu'il n'est pas possible d'écrire une fonction capable de dire, dans tous les cas, si un programme quelconque s'arrête ou non.
Si une telle fonction existait, on pourrait l'utiliser pour résoudre `absurde(absurde)` et on vient de montrer que c'est impossible. Le problème de l'arrêt est donc **indécidable** : aucun algorithme ne peut le résoudre.
Si une telle fonction existait, on pourrait l'utiliser pour résoudre `absurde(absurde)` - et on vient de montrer que c'est impossible. Le problème de l'arrêt est donc **indécidable** : aucun algorithme ne peut le résoudre.
Si la machine ne peut pas nous aider ici, il vous faudra toujours, en tant que programmeur, vérifier vous-même que votre code se termine.
@@ -263,11 +263,11 @@ Si la machine ne peut pas nous aider ici, il vous faudra toujours, en tant que p
### À retenir
**Gödel (1931) Incomplétude des systèmes formels**
**Gödel (1931) - Incomplétude des systèmes formels**
Dans tout système logique suffisamment puissant pour décrire l'arithmétique, il existe des énoncés **vrais mais indémontrables** dans ce système. Autrement dit, les mathématiques ont des limites intrinsèques : certaines vérités échappent à toute preuve formelle.
**Turing (1936) Indécidabilité du problème de l'arrêt**
**Turing (1936) - Indécidabilité du problème de l'arrêt**
Il n'existe **aucun algorithme** capable de déterminer, pour tout programme et toute entrée, si ce programme s'arrête ou tourne indéfiniment. Le problème de l'arrêt est indécidable.
@@ -299,7 +299,7 @@ Autrement dit : les mathématiques ne peuvent pas tout prouver. Certaines vérit
Gödel travaille sur la notion d'**axiome** : une proposition qu'on accepte comme vraie sans la démontrer, et qui sert de point de départ à un raisonnement.
Par exemple, en géométrie euclidienne : "par deux points distincts, il passe une droite et une seule" est un axiome. On ne le prouve pas on le pose.
Par exemple, en géométrie euclidienne : "par deux points distincts, il passe une droite et une seule" est un axiome. On ne le prouve pas - on le pose.
Gödel montre que quel que soit l'ensemble d'axiomes choisi, il restera toujours des énoncés que ce système ne peut ni prouver ni réfuter.
@@ -310,7 +310,7 @@ Gödel (1931) et Turing (1936) arrivent indépendamment à des conclusions simil
- Gödel montre les **limites de la démonstration mathématique**
- Turing montre les **limites du calcul algorithmique**
Les deux résultats disent, chacun à leur manière, qu'il existe des questions auxquelles ni les mathématiques ni les ordinateurs ne peuvent répondre non par manque de puissance, mais par nature.
Les deux résultats disent, chacun à leur manière, qu'il existe des questions auxquelles ni les mathématiques ni les ordinateurs ne peuvent répondre - non par manque de puissance, mais par nature.
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