# Corrigé des Exercices sur les Graphes
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## Exercice 1 : Réseau social (README.md)
### Rappel du graphe
```
A --- B
/|\ |
/ | \ |
C | D--+
\ | /|
\|/ |
E--F
```
Avec :
- A ami avec B, C, D
- B ami avec A, D
- C ami avec A, E, D
- D ami avec A, B, C, E, F
- E ami avec C, D, F
- F ami avec E, D
### 1°) Degré des sommets
| Sommet | Voisins | Degré |
|--------|---------|-------|
| A | B, C, D | 3 |
| B | A, D | 2 |
| C | A, E, D | 3 |
| D | A, B, C, E, F | 5 |
| E | C, D, F | 3 |
| F | E, D | 2 |
**Vérification** : Somme des degrés = 3+2+3+5+3+2 = 18 = 2 × 9 arêtes ✓
### 2°) Ordre du graphe
L'ordre du graphe est **6** (il y a 6 sommets : A, B, C, D, E, F).
### 3°) Ce graphe est-il complet ?
**Non**, ce graphe n'est pas complet.
Dans un graphe complet d'ordre 6, chaque sommet serait de degré 5 (relié à tous les autres).
Contre-exemples :
- A n'est pas relié à E et F
- B n'est pas relié à C, E et F
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## Exercice 2 : Matrice d'adjacence du réseau social
En numérotant les sommets dans l'ordre alphabétique (A, B, C, D, E, F) :
| | A | B | C | D | E | F |
|---|---|---|---|---|---|---|
| A | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| B | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| C | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| D | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| E | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| F | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
**En Python :**
```python
M = [
[0, 1, 1, 1, 0, 0],
[1, 0, 0, 1, 0, 0],
[1, 0, 0, 1, 1, 0],
[1, 1, 1, 0, 1, 1],
[0, 0, 1, 1, 0, 1],
[0, 0, 0, 1, 1, 0]
]
```
**Remarque** : La matrice est symétrique car le graphe est non orienté.
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## Exercice 3 : Réseau social d'Arthur (EXERCICES.md)
### Graphe
```
Arthur ---- Benoit ---- Coralie
| / |
| / |
Elodie ---- Franck ---- David
```
### Représentation par dictionnaire
```python
G = {
'Arthur': ['Benoit', 'Elodie'],
'Benoit': ['Arthur', 'Coralie'],
'Coralie': ['Benoit', 'Franck', 'David'],
'David': ['Coralie', 'Franck', 'Elodie'],
'Elodie': ['Arthur', 'David', 'Franck'],
'Franck': ['Coralie', 'David', 'Elodie']
}
```
### Matrice d'adjacence
En ordre alphabétique : Arthur, Benoit, Coralie, David, Elodie, Franck
| | Arthur | Benoit | Coralie | David | Elodie | Franck |
|---------|--------|--------|---------|-------|--------|--------|
| Arthur | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| Benoit | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| Coralie | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| David | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| Elodie | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| Franck | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
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## Exercice 4 : Village d'Eva (graphe orienté pondéré)
### Graphe
```
École
/ | \
3↓ 4↑ 6↕
/ | \
Boulangerie ←─── Mairie Salle des fêtes
↓ ↕2 ↕7 ↕5
4↓ Bureau Église Boucherie
↓ de poste
Boucherie
```
**Sommets** : Boulangerie, Bureau de poste, École, Boucherie, Église, Mairie, Salle des fêtes
**Arêtes orientées avec poids** :
- Boulangerie ↔ Bureau de poste : 2 min (double sens)
- École → Boulangerie : 3 min (sens unique)
- Boulangerie → Boucherie : 4 min (sens unique)
- École → Église : 3 min (sens unique)
- Mairie → École : 4 min (sens unique)
- École ↔ Salle des fêtes : 6 min (double sens)
- Boucherie ↔ Salle des fêtes : 5 min (double sens)
- Mairie ↔ Église : 7 min (double sens)
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## Exercice 5 : Ordre et degrés (img2.PNG)
*(Réponse basée sur l'image du fichier)*
Pour déterminer l'ordre : compter le nombre de sommets.
Pour déterminer le degré de chaque sommet : compter le nombre d'arêtes incidentes.
**Méthode générale :**
```python
def ordre(graphe):
return len(graphe)
def degre(graphe, sommet):
return len(graphe[sommet])
def degres(graphe):
return {s: len(v) for s, v in graphe.items()}
```
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## Exercice 6 : Dictionnaire et matrice (img3.PNG)
*(Réponse basée sur l'image du fichier)*
**Méthode pour créer le dictionnaire :**
```python
# Lire les sommets et leurs voisins depuis le graphe
G = {}
# Pour chaque sommet, lister ses voisins
# G['A'] = ['B', 'C', ...]
```
**Méthode pour créer la matrice d'adjacence :**
```python
def creer_matrice(graphe):
sommets = list(graphe.keys())
n = len(sommets)
matrice = [[0] * n for _ in range(n)]
for i, s1 in enumerate(sommets):
for j, s2 in enumerate(sommets):
if s2 in graphe[s1]:
matrice[i][j] = 1
return matrice
```
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Auteur : Florian Mathieu
Licence CC BY NC
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