{ "cells": [ { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "# Récursivité et Programmation Dynamique\n", "\n", "# La reproduction des lapins\n", "\n", "Nous allons utiliser 2 grandes méthodes de programmation que nous allons appliquer à un problème célèbre et récurrent dans le milieu de la programmation.\n", "\n", "En 1202, Leonardo Fibonacci publie un ouvrage dans lequel il traite d'un problème simple et concret : la croissance d'une population de lapins. Il s'agit de savoir comment contrôler la population des clapiers et quand vendre ses lapins, etc.\n", "\n", "Voici le fonctionnement simplifié de cette reproduction :\n", "\n", "1. On compte les lapins par **couple**\n", "2. **Chaque mois** chaque couple de lapins matures donne naissance à 1 couple de jeunes lapins immatures\n", "3. Après 2 mois les jeunes couples devienent matures et engendrent à leur tour un jeune couple immature\n", "4. On étudie la croissance de la population tous les mois : n est le nombre de mois\n", "\n", "| n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |\n", "|:------------------------------:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:--:|:--:|:--:|:--:|\n", "| nb couples matures | 0 | 0 | 0 | 1 | | | | | | | |\n", "| nb couples immatures 1er mois | 0 | 1 | 0 | 1 | | | | | | | |\n", "| nb couples immatures 2ème mois | 0 | 0 | 1 | 0 | | | | | | | |\n", "| nb couples | 0 | 1 | 1 | 2 | | | | | | | |\n", "\n", "- Complétez les mois manquants en respectant les règles de reproduction.\n", "\n", "- En vous inspirant de la méthode que vous avez employée pour compléter le tableau ci-dessus, écrivez une fonction `lapinoux(n)` qui retourne le nombre de couples de lapin obtenus au mois n.\n", "- Testez votre fonction pour des valeurs de n entre 0 et 10." ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "def lapinoux(n: int) -> int:\n", " \"\"\" Calcule le nombre de couples de lapins au bout de n mois (n>=0) \"\"\" " ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "🏁 **Terminaison** : la fonction termine toujours car elle est constituée d'un boucle finie `for ... range`.\n", "\n", "🐌 **Complexité** : $O(n)$ car à chaque fois qu'on augmente n de 1 on ajoute un tour de boucle avec 3 affectations et 1 addition." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "# Suite de Fibonacci\n", "\n", "Comme vous êtes de bons élèves en mathématiques, il ne vous a pas échappé que ce fonctionnement pouvait se formaliser sous forme de suite mathématique qu'on nomme la **Suite de Fibonacci**.\n", "\n", "En effet, vous avez pu constater que pour obtenir un terme pour un mois donné, il suffisait de faire la somme des termes des 2 mois précédents : `fibo(0) = 0 ; fibo(1) = 1 ; fibo(n) = fibo(n-1) + fibo(n-2)`.\n", "\n", "- Reprogrammez la fonction précédente en la nommant `fibo(n)` mais cette fois en utilisant la définition de la suite ci-dessus.\n", "\n", "- Testez votre fonction pour des valeurs de n entre 0 et 10." ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "def fibo(n: int) -> int:\n", " \"\"\" Calcule les termes de la suite de Fibonacci (n>=0) \"\"\" " ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "🏁 **Terminaison** : la fonction termine toujours car elle est constituée d'un boucle finie `for ... range`.\n", "\n", "🐌 **Complexité** : $O(n)$ car à chaque fois qu'on augmente n de 1 on ajoute un tour de boucle avec 3 affectations et 1 addition." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "# Récursivité\n", "\n", "⚠️ En informatique une fonction peut **s'appeler elle-même**, c'est ce qu'on nomme une **fonction récursive**. Faisons un exemple pour voir :" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 10, "metadata": {}, "outputs": [ { "name": "stdout", "output_type": "stream", "text": [ "Lancement de la fonction recursive_infinie()\n", "Lancement de la fonction recursive_infinie()\n", "Lancement de la fonction recursive_infinie()\n", "Lancement de la fonction recursive_infinie()\n", "Lancement de la fonction recursive_infinie()\n", "Lancement de la fonction recursive_infinie()\n", "Lancement de la fonction recursive_infinie()\n", "Lancement de la fonction recursive_infinie()\n", "Lancement de la fonction recursive_infinie()\n", "Lancement de la fonction recursive_infinie()\n", "Lancement de la fonction recursive_infinie()\n", "Lancement de la fonction recursive_infinie()\n", "Lancement de la fonction recursive_infinie()\n", "Lancement de la fonction recursive_infinie()\n", "Lancement de la fonction recursive_infinie()\n", "Lancement de la fonction recursive_infinie()\n", "Lancement de la fonction 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Qui se traduit littéralement par : *Ta function ne s'arrête pas gros noob !*\n", "\n", "⚠️ Quand nous écrivons une **fonction récursive**, il faut s'assurer que la **fonction s'arrête à coup sûr** ! Il faut donc bien écrire le ou les **cas d'arrêt**.\n", "\n", "Essayons cet autre exemple :" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 12, "metadata": {}, "outputs": [ { "name": "stdout", "output_type": "stream", "text": [ "On est dans la fonction recursive(10)\n", "On est dans la fonction recursive(9)\n", "On est dans la fonction recursive(8)\n", "On est dans la fonction recursive(7)\n", "On est dans la fonction recursive(6)\n", "On est dans la fonction recursive(5)\n", "On est dans la fonction recursive(4)\n", "On est dans la fonction recursive(3)\n", "On est dans la fonction recursive(2)\n", "On est dans la fonction recursive(1)\n", "On est dans la fonction recursive(0)\n", "C'est fini !\n" ] } ], "source": [ "def recursive(n: int):\n", " print(f\"On est dans la fonction recursive({n})\")\n", " if n <= 0 :\n", " print(\"C'est fini !\")\n", " else :\n", " recursive(n-1)\n", " \n", "recursive(10)" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "- Écrivez la fonction `fibor(n)` pour calculer les termes de la Suite de Fibonacci en utilisant une **fonction récursive**. Pour cela vous devez utiliser le fait que `fibor(n)` doit **retourner** `fibor(n-1) + fibor(n-2)` ! Et pensez aux cas d'arrêt !\n", "- Testez votre fonction pour des valeurs de n entre 0 et 10." ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "def fibor(n: int) -> int:\n", " \"\"\" Calcule les termes de la suite de Fibonacci récursivement (n>=0) \"\"\" " ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "🏁 **Terminaison** : la fonction termine toujours car elle est appelée récursivement avec des paramètres entiers positifs **décroissants** donc ils arriveront forcément à 0 et 1 ce qui **arrêtera les appels récursifs**.\n", "\n", "🐌 **Complexité** : $O(A^n)$, chaque appel de la fonction avec un nombre n plus grand déploie un arbre d'appel qui croît exponentiellement.\n", "\n", "Cette méthode de programmation **récursive** est séduisante car elle permet de **programmer simplement** des problèmes **difficiles** (parcours de structures, etc.). Mais elle a un gros défaut, c'est qu'elle est souvent **peu performante** en terme de **temps de calcul** et **d'efficacité mémoire**. Voyons pourquoi.\n", "\n", "- Ajouter à votre fonction un `print` qui permet de voir toutes les fonctions appelées. Ensuite testez `fibor(10)`" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "def fibor(n: int) -> int:\n", " \"\"\" Calcule les termes de la suite de Fibonacci récursivement (n>=0) \"\"\"" ] }, { "attachments": { "out.svg": { "image/svg+xml": [ "<?xml version="1.0" encoding="UTF-8" standalone="no"?>
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<title>Fibonnacci</title>
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<title>fib5&#45;&gt;fib33</title>
<path fill="none" stroke="black" d="M337,-239.7C337,-231.98 337,-222.71 337,-214.11"/>
<polygon fill="black" stroke="black" points="340.5,-214.1 337,-204.1 333.5,-214.1 340.5,-214.1"/>
</g>
<!-- fib44 -->
<g id="node9" class="node">
<title>fib44</title>
<ellipse fill="none" stroke="black" cx="463" cy="-186" rx="30.59" ry="18"/>
<text text-anchor="middle" x="463" y="-182.3" font-family="Times,serif" font-size="14.00">fib(4)</text>
</g>
<!-- fib5&#45;&gt;fib44 -->
<g id="edge8" class="edge">
<title>fib5&#45;&gt;fib44</title>
<path fill="none" stroke="black" d="M358.94,-245.33C375.73,-236.35 399.42,-223.56 420,-212 424.29,-209.59 428.8,-207.01 433.23,-204.46"/>
<polygon fill="black" stroke="black" points="435.18,-207.38 442.08,-199.33 431.67,-201.32 435.18,-207.38"/>
</g>
<!-- fib1 -->
<g id="node6" class="node">
<title>fib1</title>
<ellipse fill="none" stroke="black" cx="125" cy="-114" rx="30.59" ry="18"/>
<text text-anchor="middle" x="125" y="-110.3" font-family="Times,serif" font-size="14.00">fib(1)</text>
</g>
<!-- fib3&#45;&gt;fib1 -->
<g id="edge5" class="edge">
<title>fib3&#45;&gt;fib1</title>
<path fill="none" stroke="black" d="M155.72,-168.76C150.95,-160.4 145.01,-150.02 139.63,-140.61"/>
<polygon fill="black" stroke="black" points="142.51,-138.58 134.5,-131.63 136.43,-142.05 142.51,-138.58"/>
</g>
<!-- fib22 -->
<g id="node7" class="node">
<title>fib22</title>
<ellipse fill="none" stroke="black" cx="204" cy="-114" rx="30.59" ry="18"/>
<text text-anchor="middle" x="204" y="-110.3" font-family="Times,serif" font-size="14.00">fib(2)</text>
</g>
<!-- fib3&#45;&gt;fib22 -->
<g id="edge6" class="edge">
<title>fib3&#45;&gt;fib22</title>
<path fill="none" stroke="black" d="M174.05,-168.76C178.7,-160.4 184.49,-150.02 189.73,-140.61"/>
<polygon fill="black" stroke="black" points="192.92,-142.07 194.73,-131.63 186.81,-138.67 192.92,-142.07"/>
</g>
<!-- fib11 -->
<g id="node10" class="node">
<title>fib11</title>
<ellipse fill="none" stroke="black" cx="298" cy="-114" rx="30.59" ry="18"/>
<text text-anchor="middle" x="298" y="-110.3" font-family="Times,serif" font-size="14.00">fib(1)</text>
</g>
<!-- fib33&#45;&gt;fib11 -->
<g id="edge9" class="edge">
<title>fib33&#45;&gt;fib11</title>
<path fill="none" stroke="black" d="M327.95,-168.76C323.3,-160.4 317.51,-150.02 312.27,-140.61"/>
<polygon fill="black" stroke="black" points="315.19,-138.67 307.27,-131.63 309.08,-142.07 315.19,-138.67"/>
</g>
<!-- fib222 -->
<g id="node11" class="node">
<title>fib222</title>
<ellipse fill="none" stroke="black" cx="377" cy="-114" rx="30.59" ry="18"/>
<text text-anchor="middle" x="377" y="-110.3" font-family="Times,serif" font-size="14.00">fib(2)</text>
</g>
<!-- fib33&#45;&gt;fib222 -->
<g id="edge10" class="edge">
<title>fib33&#45;&gt;fib222</title>
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<polygon fill="black" stroke="black" points="365.57,-142.05 367.5,-131.63 359.49,-138.58 365.57,-142.05"/>
</g>
<!-- fib2222 -->
<g id="node12" class="node">
<title>fib2222</title>
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<text text-anchor="middle" x="463" y="-110.3" font-family="Times,serif" font-size="14.00">fib(2)</text>
</g>
<!-- fib44&#45;&gt;fib2222 -->
<g id="edge11" class="edge">
<title>fib44&#45;&gt;fib2222</title>
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<!-- fib333 -->
<g id="node13" class="node">
<title>fib333</title>
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<text text-anchor="middle" x="542" y="-110.3" font-family="Times,serif" font-size="14.00">fib(3)</text>
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<!-- fib44&#45;&gt;fib333 -->
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<title>fib44&#45;&gt;fib333</title>
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<!-- fib111 -->
<g id="node14" class="node">
<title>fib111</title>
<ellipse fill="none" stroke="black" cx="541" cy="-42" rx="30.59" ry="18"/>
<text text-anchor="middle" x="541" y="-38.3" font-family="Times,serif" font-size="14.00">fib(1)</text>
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<!-- fib333&#45;&gt;fib111 -->
<g id="edge13" class="edge">
<title>fib333&#45;&gt;fib111</title>
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<polygon fill="black" stroke="black" points="544.89,-70.05 541.24,-60.1 537.89,-70.15 544.89,-70.05"/>
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<!-- fib22222 -->
<g id="node15" class="node">
<title>fib22222</title>
<ellipse fill="none" stroke="black" cx="620" cy="-42" rx="30.59" ry="18"/>
<text text-anchor="middle" x="620" y="-38.3" font-family="Times,serif" font-size="14.00">fib(2)</text>
</g>
<!-- fib333&#45;&gt;fib22222 -->
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<title>fib333&#45;&gt;fib22222</title>
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</g>
</g>
</svg>
" ] } }, "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Vous constatez que la fonction `fibor` est lancée **177 fois** ! Et surtout, on calcule les mêmes valeurs plusieurs fois, par exemple on calcule **8 fois** `fibor(5)` !\n", "\n", "Cette image montre bien le problème pour `fibor(6)` :\n", "\n", "![out.svg](attachment:out.svg)\n", "\n", "On voit dans l'arbre des appels successifs que `fibor(4)` est calculé 2 fois et `fibor(3)` 3 fois. Ce qui est évidemment **inefficace**.\n", "\n", "On peut, en général, améliorer la **récursivité** en faisant de la **récursivité terminale**, mais nous approfondirons ce problème plus tard...\n", "\n", "⚠️ Retenons pour l'instant que la **récursivité** permet de programmer avec **simplicité et élégance** des problème **difficiles** mais souvent au **détriment de la performance**.\n", "\n", "# Programmation dynamique\n", "\n", "Le gros défaut de l'algorithme précédent est qu'il **recalcule** sans cesse les **mêmes termes** inutilement. Il existe une méthode de programmation qui répond justement à ce problème :\n", "\n", "⚠️ La **programmation dynamique** est une méthode de programmation qui consiste à **enregistrer des résultats de calculs intermédiaires** pour les **réutiliser plus tard afin d'éviter de les recalculer**.\n", "\n", "- Écrivez la fonction `fibordyn` qui calcule les termes de la suite de Fibonacci **récursivement** mais avec une **liste pour enregistrer les résultats intermédiaires** que vous consulterez avant de recommencer un calcul.\n", "\n", "- Testez votre fonction avec n = 10." ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "def fibordyn(n: int) -> int:\n", " \"\"\" Lanceur de la fonction fibor (n>=0) : initialisation du tableau de résultats \"\"\"" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "🏁 **Terminaison** : la fonction termine toujours car elle est appelée récursivement avec des paramètres entiers positifs **décroissants** donc ils arriveront forcément à 0 et 1 ce qui **arrêtera les appels récursifs**.\n", "\n", "🐌 **Complexité** : $O(n)$, on appelle n+1 fois la fonction `fibor()` qui contient des tests, des affectations, des additions mais aussi des **accès à des listes qui se font en temps constant en Python**.\n", "\n", "⚠️ Je vous conseille de faire un arbre d'appel avec `n = 5` pour comprendre exactement comment marche ce programme car c'est plus subtil qu'il n'y parait ! C'est l'occasion d'utiliser [Python Tutor](http://www.pythontutor.com/visualize.html#mode=edit) !\n", "\n", "# Performances\n", "\n", "Nous avons donc 4 algorithmes différents pour calculer la croissance de la population de nos couples de lapins. Testons leurs performances.\n", "\n", "- **Copier-coller** la définition de votre fonction `lapinoux` au début de la cellule ci-dessous et exécutez la cellule pour analyser les performances." ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 1, "metadata": {}, "outputs": [ { "name": "stdout", "output_type": "stream", "text": [ "Test avec n=10 - Test avec n=1010 - Test avec n=2010 - Test avec n=3010 - Test avec n=4010 - Test avec n=5010 - Test avec n=6010 - Test avec n=7010 - Test avec n=8010 - Test avec n=9010 - Test avec n=10010 - Test avec n=11010 - Test avec n=12010 - Test avec n=13010 - Test avec n=14010 - Test avec n=15010 - Test avec n=16010 - Test avec n=17010 - Test avec n=18010 - Test avec n=19010 - Test avec n=20010 - Test avec n=21010 - Test avec n=22010 - Test avec n=23010 - Test avec n=24010 - Test avec n=25010 - Test avec n=26010 - Test avec n=27010 - Test avec n=28010 - Test avec n=29010 - Test avec n=30010 - Test avec n=31010 - Test avec n=32010 - Test avec n=33010 - Test avec n=34010 - Test avec n=35010 - Test avec n=36010 - Test avec n=37010 - Test avec n=38010 - Test avec n=39010 - Test avec n=40010 - Test avec n=41010 - Test avec n=42010 - Test avec n=43010 - Test avec n=44010 - Test avec n=45010 - Test avec n=46010 - Test avec n=47010 - Test avec n=48010 - Test avec n=49010 - Test avec n=50010 - Test avec n=51010 - Test avec n=52010 - Test avec n=53010 - Test avec n=54010 - Test avec n=55010 - Test avec n=56010 - Test avec n=57010 - Test avec n=58010 - Test avec n=59010 - Test avec n=60010 - Test avec n=61010 - Test avec n=62010 - Test avec n=63010 - Test avec n=64010 - Test avec n=65010 - Test avec n=66010 - Test avec n=67010 - Test avec n=68010 - Test avec n=69010 - Test avec n=70010 - Test avec n=71010 - Test avec n=72010 - Test avec n=73010 - Test avec n=74010 - Test avec n=75010 - Test avec n=76010 - Test avec n=77010 - Test avec n=78010 - Test avec n=79010 - Test avec n=80010 - Test avec n=81010 - Test avec n=82010 - Test avec n=83010 - Test avec n=84010 - Test avec n=85010 - Test avec n=86010 - Test avec n=87010 - Test avec n=88010 - Test avec n=89010 - Test avec n=90010 - Test avec n=91010 - Test avec n=92010 - Test avec n=93010 - Test avec n=94010 - Test avec n=95010 - Test avec n=96010 - Test avec n=97010 - Test avec n=98010 - Test avec n=99010 - " ] }, { "data": { "application/javascript": [ "/* Put everything inside the global mpl namespace */\n", "window.mpl = {};\n", "\n", "\n", "mpl.get_websocket_type = function() {\n", " if (typeof(WebSocket) !== 'undefined') {\n", " return WebSocket;\n", " } else if (typeof(MozWebSocket) !== 'undefined') {\n", " return MozWebSocket;\n", " } else {\n", " alert('Your browser does not have WebSocket support. ' +\n", " 'Please try Chrome, Safari or Firefox ≥ 6. ' +\n", " 'Firefox 4 and 5 are also supported but you ' +\n", " 'have to enable WebSockets in about:config.');\n", " };\n", "}\n", "\n", "mpl.figure = function(figure_id, websocket, ondownload, parent_element) {\n", " this.id = figure_id;\n", "\n", " this.ws = websocket;\n", "\n", " this.supports_binary = (this.ws.binaryType != undefined);\n", "\n", " if (!this.supports_binary) {\n", " var warnings = document.getElementById(\"mpl-warnings\");\n", " if (warnings) {\n", " warnings.style.display = 'block';\n", " warnings.textContent = (\n", " \"This browser does not support binary websocket messages. \" +\n", " \"Performance may be slow.\");\n", " }\n", " }\n", "\n", " this.imageObj = new Image();\n", "\n", " this.context = undefined;\n", " this.message = undefined;\n", " this.canvas = undefined;\n", " this.rubberband_canvas = undefined;\n", " this.rubberband_context = undefined;\n", " this.format_dropdown = undefined;\n", "\n", " this.image_mode = 'full';\n", "\n", " this.root = $('
');\n", " this._root_extra_style(this.root)\n", " this.root.attr('style', 'display: inline-block');\n", "\n", " $(parent_element).append(this.root);\n", "\n", " this._init_header(this);\n", " this._init_canvas(this);\n", " this._init_toolbar(this);\n", "\n", " var fig = this;\n", "\n", " this.waiting = false;\n", "\n", " this.ws.onopen = function () {\n", " fig.send_message(\"supports_binary\", {value: fig.supports_binary});\n", " fig.send_message(\"send_image_mode\", {});\n", " if (mpl.ratio != 1) {\n", " fig.send_message(\"set_dpi_ratio\", {'dpi_ratio': mpl.ratio});\n", " }\n", " fig.send_message(\"refresh\", {});\n", " }\n", "\n", " this.imageObj.onload = function() {\n", " if (fig.image_mode == 'full') {\n", " // Full images could contain transparency (where diff images\n", " // almost always do), so we need to clear the canvas so that\n", " // there is no ghosting.\n", " fig.context.clearRect(0, 0, fig.canvas.width, fig.canvas.height);\n", " }\n", " fig.context.drawImage(fig.imageObj, 0, 0);\n", " };\n", "\n", " this.imageObj.onunload = function() {\n", " fig.ws.close();\n", " }\n", "\n", " this.ws.onmessage = this._make_on_message_function(this);\n", "\n", " this.ondownload = ondownload;\n", "}\n", "\n", "mpl.figure.prototype._init_header = function() {\n", " var titlebar = $(\n", " '
');\n", " var titletext = $(\n", " '
');\n", " titlebar.append(titletext)\n", " this.root.append(titlebar);\n", " this.header = titletext[0];\n", "}\n", "\n", "\n", "\n", "mpl.figure.prototype._canvas_extra_style = function(canvas_div) {\n", "\n", "}\n", "\n", "\n", "mpl.figure.prototype._root_extra_style = function(canvas_div) {\n", "\n", "}\n", "\n", "mpl.figure.prototype._init_canvas = function() {\n", " var fig = this;\n", "\n", " var canvas_div = $('
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');\n", " nav_element.attr('style', 'width: 100%');\n", " this.root.append(nav_element);\n", "\n", " // Define a callback function for later on.\n", " function toolbar_event(event) {\n", " return fig.toolbar_button_onclick(event['data']);\n", " }\n", " function toolbar_mouse_event(event) {\n", " return fig.toolbar_button_onmouseover(event['data']);\n", " }\n", "\n", " for(var toolbar_ind in mpl.toolbar_items) {\n", " var name = mpl.toolbar_items[toolbar_ind][0];\n", " var tooltip = mpl.toolbar_items[toolbar_ind][1];\n", " var image = mpl.toolbar_items[toolbar_ind][2];\n", " var method_name = mpl.toolbar_items[toolbar_ind][3];\n", "\n", " if (!name) {\n", " // put a spacer in here.\n", " continue;\n", " }\n", " var button = $('');\n", " button.click(method_name, toolbar_event);\n", " button.mouseover(tooltip, toolbar_mouse_event);\n", " nav_element.append(button);\n", " }\n", "\n", " // Add the status bar.\n", " var status_bar = $('');\n", " nav_element.append(status_bar);\n", " this.message = status_bar[0];\n", "\n", " // Add the close button to the window.\n", " var buttongrp = $('
');\n", " var button = $('');\n", " button.click(function (evt) { fig.handle_close(fig, {}); } );\n", " button.mouseover('Stop Interaction', toolbar_mouse_event);\n", " buttongrp.append(button);\n", " var titlebar = this.root.find($('.ui-dialog-titlebar'));\n", " titlebar.prepend(buttongrp);\n", "}\n", "\n", "mpl.figure.prototype._root_extra_style = function(el){\n", " var fig = this\n", " el.on(\"remove\", function(){\n", "\tfig.close_ws(fig, {});\n", " });\n", "}\n", "\n", "mpl.figure.prototype._canvas_extra_style = function(el){\n", " // this is important to make the div 'focusable\n", " el.attr('tabindex', 0)\n", " // reach out to IPython and tell the keyboard manager to turn it's self\n", " // off when our div gets focus\n", "\n", " // location in version 3\n", " if (IPython.notebook.keyboard_manager) {\n", " IPython.notebook.keyboard_manager.register_events(el);\n", " }\n", " else {\n", " // location in version 2\n", " IPython.keyboard_manager.register_events(el);\n", " }\n", "\n", "}\n", "\n", "mpl.figure.prototype._key_event_extra = function(event, name) {\n", " var manager = IPython.notebook.keyboard_manager;\n", " if (!manager)\n", " manager = IPython.keyboard_manager;\n", "\n", " // Check for shift+enter\n", " if (event.shiftKey && event.which == 13) {\n", " this.canvas_div.blur();\n", " // select the cell after this one\n", " var index = IPython.notebook.find_cell_index(this.cell_info[0]);\n", " IPython.notebook.select(index + 1);\n", " }\n", "}\n", "\n", "mpl.figure.prototype.handle_save = function(fig, msg) {\n", " fig.ondownload(fig, null);\n", "}\n", "\n", "\n", "mpl.find_output_cell = function(html_output) {\n", " // Return the cell and output element which can be found *uniquely* in the notebook.\n", " // Note - this is a bit hacky, but it is done because the \"notebook_saving.Notebook\"\n", " // IPython event is triggered only after the cells have been serialised, which for\n", " // our purposes (turning an active figure into a static one), is too late.\n", " var cells = IPython.notebook.get_cells();\n", " var ncells = cells.length;\n", " for (var i=0; i= 3 moved mimebundle to data attribute of output\n", " data = data.data;\n", " }\n", " if (data['text/html'] == html_output) {\n", " return [cell, data, j];\n", " }\n", " }\n", " }\n", " }\n", "}\n", "\n", "// Register the function which deals with the matplotlib target/channel.\n", "// The kernel may be null if the page has been refreshed.\n", "if (IPython.notebook.kernel != null) {\n", " IPython.notebook.kernel.comm_manager.register_target('matplotlib', mpl.mpl_figure_comm);\n", "}\n" ], "text/plain": [ "" ] }, "metadata": {}, "output_type": "display_data" }, { "data": { "text/html": [ "" ], "text/plain": [ "" ] }, "metadata": {}, "output_type": "display_data" }, { "name": "stdout", "output_type": "stream", "text": [ "\n", "\n", "Temps d'execution de fibo avec n=99010 : 0.08640494139999859\n" ] } ], "source": [ "# Copiez ici le code de la fonction fibo\n", "\n", "# Mesure du temps et tracés\n", "import time\n", "%matplotlib notebook\n", "import matplotlib.pyplot as plt\n", "\n", "n = [i for i in range(10, 100000, 1000)]\n", "liste_temps = []\n", "\n", "for i in n:\n", " print(f\"Test avec n={i}\", end = \" - \")\n", " temps = 0.0\n", " nb_loops = 10\n", " for test in range(nb_loops):\n", " start = time.process_time()\n", " fibo(i)\n", " temps += time.process_time() - start\n", " temps /= nb_loops\n", " liste_temps.append(temps)\n", "\n", "plt.plot(n, liste_temps, label=\"fibo\")\n", "plt.xlabel(\"n\")\n", "plt.grid(True)\n", "print(f\"\\n\\nTemps d'execution de fibo avec n={n[-1]} : {liste_temps[-1]}\")" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Nous obtenons des résultats identiques à la fonction précédente, ce qui est normal puisque ces fonctions sont presques identiques.\n", "\n", "- **Copier-coller** la définition de votre fonction `fibor` au début de la cellule suivante et exécutez la cellule pour analyser les performances." ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 3, "metadata": {}, "outputs": [ { "name": "stdout", "output_type": "stream", "text": [ "Test avec n=5 - Test avec n=7 - Test avec n=9 - Test avec n=11 - Test avec n=13 - Test avec n=15 - Test avec n=17 - Test avec n=19 - Test avec n=21 - Test avec n=23 - Test avec n=25 - Test avec n=27 - Test avec n=29 - Test avec n=31 - Test avec n=33 - Test avec n=35 - Test avec n=37 - Test avec n=39 - " ] }, { "data": { "application/javascript": [ "/* Put everything inside the global mpl namespace */\n", "window.mpl = {};\n", "\n", "\n", "mpl.get_websocket_type = function() {\n", " if (typeof(WebSocket) !== 'undefined') {\n", " return WebSocket;\n", " } else if (typeof(MozWebSocket) !== 'undefined') {\n", " return MozWebSocket;\n", " } else {\n", " alert('Your browser does not have WebSocket support. 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');\n", " var titletext = $(\n", " '
');\n", " titlebar.append(titletext)\n", " this.root.append(titlebar);\n", " this.header = titletext[0];\n", "}\n", "\n", "\n", "\n", "mpl.figure.prototype._canvas_extra_style = function(canvas_div) {\n", "\n", "}\n", "\n", "\n", "mpl.figure.prototype._root_extra_style = function(canvas_div) {\n", "\n", "}\n", "\n", "mpl.figure.prototype._init_canvas = function() {\n", " var fig = this;\n", "\n", " var canvas_div = $('
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i= 3 moved mimebundle to data attribute of output\n", " data = data.data;\n", " }\n", " if (data['text/html'] == html_output) {\n", " return [cell, data, j];\n", " }\n", " }\n", " }\n", " }\n", "}\n", "\n", "// Register the function which deals with the matplotlib target/channel.\n", "// The kernel may be null if the page has been refreshed.\n", "if (IPython.notebook.kernel != null) {\n", " IPython.notebook.kernel.comm_manager.register_target('matplotlib', mpl.mpl_figure_comm);\n", "}\n" ], "text/plain": [ "" ] }, "metadata": {}, "output_type": "display_data" }, { "data": { "text/html": [ "" ], "text/plain": [ "" ] }, "metadata": {}, "output_type": "display_data" }, { "name": "stdout", "output_type": "stream", "text": [ "\n", "\n", "Temps d'execution de fibor avec n=2960 : 0.0013239043599969592\n" ] } ], "source": [ "# Copiez ici le code de la fonction fibordyn\n", "\n", "# Mesure du temps et tracés\n", "import time\n", "%matplotlib notebook\n", "import matplotlib.pyplot as plt\n", "n = [i for i in range(10, 2985, 25)]\n", "liste_temps = []\n", "\n", "for i in n:\n", " print(f\"Test avec n={i}\", end = \" - \")\n", " temps = 0.0\n", " nb_loops = 50\n", " for test in range(nb_loops):\n", " start = time.process_time()\n", " fibordyn(i)\n", " temps += time.process_time() - start\n", " temps /= nb_loops\n", " liste_temps.append(temps)\n", "\n", "plt.plot(n, liste_temps, label=\"fibor\")\n", "plt.xlabel(\"n\")\n", "plt.grid(True)\n", "print(f\"\\n\\nTemps d'execution de fibor avec n={n[-1]} : {liste_temps[-1]}\")" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Ici le temps d'exécution est bien **linéaire** en fonction de n.\n", "\n", "⚠️ Mais il y a **trop d'appels de fonctions** imbriqués et Python ne peut pas calculer au delà de n=2900.\n", "\n", "Malgré tout, les performances sont bien en dessous de nos premiers algorithmes car ici il faut environ 1 ms pour calculer le terme avec n=2960 alors qu'il en fallait à peine 0.25 ms avec les premiers.\n", "\n", "# Conclusion\n", "\n", "⚠️ La **récursivité** permet de résoudre **facilement** des **problèmes complexes** mais elle s'accompagne souvent de **problèmes de performances**.\n", "\n", "⚠️ La **programmation dynamique** permet de gagner du temps dans les algorithmes car elle consiste à **enregistrer les résultats intermédiaires calculés** afin de les **ré-utiliser plus tard** dans l'algorithme.\n", "\n", "Cette technique est souvent utilisée dans les problèmes **d'optimisation** car dans ce domaine, les calculs utilisent souvent **plusieurs fois les mêmes valeurs**." ] } ], "metadata": { "kernelspec": { "display_name": "Python 3", "language": "python", "name": "python3" }, "language_info": { "codemirror_mode": { "name": "ipython", "version": 3 }, "file_extension": ".py", "mimetype": "text/x-python", "name": "python", "nbconvert_exporter": "python", "pygments_lexer": "ipython3", "version": "3.8.5" }, "widgets": { "application/vnd.jupyter.widget-state+json": { "state": {}, "version_major": 2, "version_minor": 0 } } }, "nbformat": 4, "nbformat_minor": 2 }