graphes-l3/Seance_9_Coloration.ipynb

🎨 Séance 9 — Coloration de graphes

Objectifs pédagogiques

À la fin de cette séance, vous serez capables de :

• comprendre le problème de coloration d'un graphe et la notion de nombre chromatique ;
• appliquer un algorithme glouton de coloration avec networkx ;
• reconnaître des situations sociologiques et organisationnelles modélisables par la coloration de graphe.

Introduction

Jusqu'ici, les arêtes de nos graphes représentaient des liens positifs (amitié, communication). La coloration de graphe part d'une idée différente : des arêtes qui représentent des incompatibilités, des conflits, des situations où deux sommets ne doivent surtout pas se retrouver "dans la même case".

Exemple concret : vous devez organiser le planning des examens d'un semestre. Deux matières sont en conflit si des étudiant·es sont inscrit·es aux deux — dans ce cas, elles ne peuvent pas être programmées au même créneau. Combien de créneaux minimum faut-il pour que personne n'ait deux examens en même temps ?

Partie 1 — Le problème de coloration

Colorier un graphe, c'est attribuer une couleur (ou un créneau, une catégorie...) à chaque sommet, de telle sorte que deux sommets reliés par une arête n'aient jamais la même couleur.

Le nombre chromatique d'un graphe est le nombre minimum de couleurs nécessaires pour y parvenir. Plus un graphe a de conflits imbriqués les uns dans les autres, plus son nombre chromatique est élevé.

Question de réflexion préalable : si trois matières sont toutes en conflit deux à deux (Maths-Info, Info-Socio, Maths-Socio), combien de créneaux minimum faut-il pour elles trois ? Pourquoi ne peut-on pas faire avec moins ?

Partie 2 — Un graphe de conflits d'examens

Voici le graphe de conflits entre 5 matières :

   Maths — Info
    │         │
  Socio    Anglais
      \      /
       Sport

(Maths-Info, Info-Anglais, Anglais-Sport, Sport-Socio, Socio-Maths sont en conflit)

À la main : essayez de proposer une répartition en créneaux (couleurs) avant de passer à Python. Combien de créneaux minimum pensez-vous nécessaires ?

In [ ]:

import networkx as nx
import matplotlib.pyplot as plt

G = nx.Graph()
G.add_edges_from([
    ("Maths", "Info"),
    ("Info", "Anglais"),
    ("Anglais", "Sport"),
    ("Sport", "Socio"),
    ("Socio", "Maths"),
])

plt.figure()
nx.draw(G, with_labels=True, node_color="lightblue", node_size=1500)
plt.show()

Partie 3 — Colorier automatiquement avec un algorithme glouton

L'algorithme glouton de coloration parcourt les sommets un par un, et attribue à chacun la plus petite couleur disponible qui n'est pas déjà utilisée par l'un de ses voisins déjà colorié. C'est simple et rapide, mais il ne garantit pas toujours d'obtenir le nombre chromatique minimal — cela dépend de l'ordre dans lequel les sommets sont traités.

In [ ]:

# NetworkX propose directement un algorithme glouton de coloration
coloration = nx.greedy_color(G, strategy="largest_first")

print("Créneau (couleur) attribué à chaque matière :")
for matiere, creneau in coloration.items():
    print(f"  {matiere} : créneau {creneau}")

nb_creneaux = len(set(coloration.values()))
print(f"\nNombre de créneaux utilisés : {nb_creneaux}")

# Visualisation avec les couleurs attribuées
palette = ["lightblue", "lightgreen", "lightcoral", "khaki", "plum"]
couleurs_sommets = [palette[coloration[noeud]] for noeud in G.nodes()]

plt.figure()
nx.draw(G, with_labels=True, node_color=couleurs_sommets, node_size=1500)
plt.show()

Interprétation : ce graphe de conflits forme un cycle à 5 sommets (chaque matière est en conflit avec exactement 2 autres, en boucle). Sur un cycle à un nombre impair de sommets, il est mathématiquement impossible de s'en sortir avec seulement 2 créneaux : en alternant 2 couleurs autour du cycle, on finit toujours par faire se toucher deux sommets de la même couleur. Il faut donc au minimum 3 créneaux.

Questions :

1. Le résultat de l'algorithme glouton correspond-il à votre proposition manuelle ?
2. Si vous ajoutiez une 6ᵉ matière en conflit uniquement avec Maths, combien de créneaux seraient nécessaires ? Pourquoi ?
3. Un graphe sans aucune arête (aucun conflit) a quel nombre chromatique ?

Synthèse

Concept	Signification	Exemple d'application
Sommet	Élément à catégoriser (matière, tâche, personne, fréquence radio...)	Un examen
Arête	Incompatibilité entre deux sommets	Deux matières partagées par les mêmes étudiant·es
Couleur	Catégorie/créneau attribué	Un créneau horaire
Nombre chromatique	Nombre minimum de catégories nécessaires	Nombre minimum de créneaux d'examens
Algorithme glouton	Attribue la plus petite couleur libre à chaque sommet, dans un ordre donné	Rapide, mais pas toujours optimal

Questions de réflexion

1. Donnez un autre exemple sociologique ou organisationnel modélisable par la coloration de graphe (répartition en groupes de travail, attribution de bureaux, allocation de fréquences...).
2. Pourquoi un algorithme glouton, malgré sa simplicité, peut-il être un bon compromis en pratique même s'il ne garantit pas le minimum absolu ?
3. En quoi la coloration de graphe diffère-t-elle fondamentalement des mesures vues en Séance 8 (centralité) ? Que cherche-t-on à optimiser dans chaque cas ?