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Les tableaux de Karnaugh
Introduction
La réduction, pour une même expression, du nombre d'opérateurs et / ou du nombre de variables, conduit à une écriture simplifiée de cette expression.
Il existe un grand nombre de méthodes de simplification d'expression booléenne, parmi lesquelles ont peut distinguer :
- La simplification par Tableau de Karnaugh. On fait cela en quelques étapes :
- On construit un tableau de la fonction à simplifier
- On recherche les cases adjacentes qui ont pour valeur 1
- On regroupe ces cases par puissance de 2, en paquets les plus gros possibles.
Cette méthode s'avère la plus redoutable.
Construction du tableau de Karnaugh
- Tableau à 3 variables:
- En haut, on regroupe deux variables ensemble (A B)
- À gauche, on indique la troisième (C)
- S = sortie
| S | 00 | 01 | 11 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| 0 | ||||
| 1 |
- Tableau à 4 variables :
- Deux variables en haut ( A B)
- Deux variables à gauche ( C D)
| U | 00 | 01 | 11 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| 00 | ||||
| 01 | ||||
| 11 | ||||
| 10 |
Exemples
Simplification de l'équation logique suivante :
S = \overline a b \overline c \overline d + abcd + a \overline b c d + ab \overline c \overline d
| S | 00 | 01 | 11 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| 00 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 01 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 11 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 10 | 0 | 0 | 0 | 0 |
-
On regroupe les 1 collés en haut : a change d'état et est éliminé. Il reste donc :
b \overline c \overline d -
On regroupe les 1 en bas : b change d'état et est éliminé, il reste :
acd
On a donc une équation réduite sous forme de polynôme ou canonique en OU
S = acd + b \overline c \overline d
| S | 00 | 01 | 11 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| 00 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 01 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 11 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 10 | 1 | 0 | 0 | 0 |
S = \overline a \overline b
| S | 00 | 01 | 11 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| 00 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 01 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 11 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 10 | 1 | 0 | 0 | 1 |
S = \overline b
| S | 00 | 01 | 11 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| 00 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 01 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 11 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 10 | 1 | 0 | 0 | 1 |
S = \overline b \overline d
Exercices
Simplifier à l'aide du tableau du Karnaugh l'équation logique suivante :
T = \overline a b \overline c \overline d + ab \overline c \overline d + \overline a bc \overline d + abc\overline d + \overline a \overline b c \overline d + a \overline b c \overline d
| T | 00 | 01 | 11 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| 00 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 01 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 11 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 10 | 1 | 1 | 1 | 1 |
D'après le tableau de Karnaugh suivant, rechercher l'équation logique réduite :
| U | 00 | 01 | 11 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| 00 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 01 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 11 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 10 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Indice : utiliser le théorème de DE MORGAN
\overline U = abcd