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Après avoir vu le parcours séquentiel d'un tableau dans le but de trouver un élèment, on va pouvoir voir une méthode bien plus efficace dans le cas d'une liste triée, la recherche dichotomique.

Le programme

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Etymologie

Le mot dichotomie vient du grec ancien

dikhotomia

qui signifie couper en deux

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Problème de base

Supposons un tableau tab :

tab = [1,2,6,9,12,14,18,21,42]

Si on souhaite chercher un élèment, par exemple 7, en utilisant le parcours séquentiel on fonctionne par balayage (avec une boucle for...) et donc parcourir la liste du début à la fin en colparant chaque valeur à l'élèment recherché.

Ici par exemple, on effectuerait 9 comparaison pour finir par dire que non, 7 n'est pas présent.

Dans le cas d'une liste déjà triée, la recherche dichotomique permet d'améliorer les performances.

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Principe

• Si le tableau est vide, on renvoie False, la recherche est terminée.
• Sinon, on trouve la valeur la plus centrale du tableau et on la compare avec l'élément recherché :
  • si la valeur est celle qu'on recherche, on renvoie True, la recherche est terminée.
  • si la valeur est plus petite que l'élèment recherché, on recommence la procédure avec la seconde moitié du tableau.
  • si la valeur est plus grande que l'élément recherché, on recommence avec la première moitié du tableau.

Par Tushe2000 — Template:LoStrangolatore, Domaine public, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=39675138

Exercice :

Montrer le nombre d'étapes nécessaires à la réussite de cette recherche.

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Complexité

Taille tableau	0	1	2	4	8	16	32	64	128	N
Recherche Séquentielle	0	1	2	4	8	16	32	64	128	N
Recherche Dichotomique	0	1	2	3	4	5	6	7	8	log2N

• Quel est le pire des cas ici ? Que l'élèment recherché ne soit pas dans le tableau.
• Le nombre de tours de boucle de la recherche dichotomique est de l'ordrede log₂(n) où n est la taille de la liste.

Explications

Qu'est ce que le Logarithme:

pour faire simple, le logarithme en base n - écrit log_n correspond au nombre de division par n successive pour arriver au nombre 0.

Exemple :

Soit un tableau de taille 𝑛.

Si on « coupe » ce tableau en deux parts égales, cela revient à diviser 𝑛 par deux à chaque itération :

n_1=\frac{n}{2}

n_2=\frac{n_1}{2}

n_3=\frac{n_2}{2}

Important : la taille d’un tableau étant forcément un nombre entier, 𝑛𝑖 va devenir à un moment ou un autre égal à 1.

Cela signifiera qu’après avoir divisé 𝑛 par 2 un nombre de fois égal à un certain nombre 𝑎, le tableau ne comportera plus qu’une seule valeur (et par conséquent l’algorithme s’arrête).

n_i=1=\frac{n}{2*2*...*2}=\frac{n}{2a}

Soit : 𝑎 =log₂(𝑛)

La recherche dichotomique est donc de complexité logarithmique.

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Terminaison

Pour vérifier que la recherche dichotomique se termine bien, regardons ensemble son code python - on suppose que le tableau en entrée est déjà trié.

def dichotomique (tab, x):
"""
:param tab: tableau contenant différents élèments déjà triés
:param x: élèment recherché
"""
	a = 0 # on initialise la borne inférieure
	b = len(tab) - 1 # borne supérieure
	while a <= b: # tant que la borne inférieure est plus petite ou égale à la borne supérieure
  	m = (a + b) // 2 # on se place au milieu du tableau
  	if tab[m] == x: # si l'élément central est l'élément recherché
    	return True # alors on a terminé
  	elif tab[m] < x: # si l'élément central est plus petit que l'élément recherché
    	a = m + 1 # on déplace la borne minimum vers la sous-partie droite du tableau
  	else: #si l'élement central n'est ni plus petit ni égal à l'élément recherché, donc s'il est >...
    	b = m - 1 #on déplace la borne supérieure vers la sous-partie gauche
    	#si après tout ça on ne trouve pas l'élément...
	return False
  

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Exercices :

• Écrire une fonction tableau_random(x, i, j) qui crée un tableau de x nombres aléatoires compris entre i et j
• Écrire une fonction trier_tableau (tab) qui va trier un tableau par ordre croissant.
• Écrire la fonction dichotomique (tab, x) qui renvoie True si l'élément x se trouve dans tab, False sinon.

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Auteur : Florian Mathieu

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