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# Les tableaux de Karnaugh
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## Introduction
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La réduction, pour une même expression, du nombre d'*opérateur*s ***et / ou*** du nombre de *variables*, conduit à une écriture simplifiée de cette expression.
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Il existe un grand nombre de méthodes de simplification d'expression booléenne, parmi lesquelles ont peut distinguer :
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- La simplification par **Tableau de Karnaugh**. On fait cela en quelques étapes :
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- On construit un tableau de la fonction à simplifier
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- On recherche les cases adjacentes qui ont pour valeur 1
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- On regroupe ces cases par puissance de 2, en paquets les plus gros possibles.
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Cette méthode s'avère la plus redoutable.
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## Construction du tableau de Karnaugh
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- Tableau à 3 variables:
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- En haut, on regroupe deux variables ensemble (A B)
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- À gauche, on indique la troisième (C)
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- S = sortie
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| S | 00 | 01 | 11 | 10 |
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| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
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| 0 | | | | |
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| 1 | | | | |
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- Tableau à 4 variables :
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- Deux variables en haut ( A B)
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- Deux variables à gauche ( C D)
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| U | 00 | 01 | 11 | 10 |
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| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
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| 00 | | | | |
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| 01 | | | | |
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| 11 | | | | |
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| 10 | | | | |
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## Exemples
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*Simplification de l'équation logique suivante :*
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```math
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S = \overline a b \overline c \overline d + abcd + a \overline b c d + ab \overline c \overline d
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```
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| S | 00 | 01 | 11 | 10 |
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| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
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| 00 | 0 | 1 | 1 | 0 |
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| 01 | 0 | 0 | 0 | 0 |
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| 11 | 0 | 0 | 1 | 1 |
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| 10 | 0 | 0 | 0 | 0 |
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- On regroupe les 1 collés en haut : a change d'état et est éliminé. Il reste donc :
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```math
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b \overline c \overline d
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```
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- On regroupe les 1 en bas : b change d'état et est éliminé, il reste :
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```math
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acd
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```
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On a donc une équation réduite sous forme de polynôme ou canonique en ***OU***
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```math
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S = acd + b \overline c \overline d
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```
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| S | 00 | 01 | 11 | 10 |
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| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
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| 00 | 1 | 0 | 0 | 0 |
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| 01 | 1 | 0 | 0 | 0 |
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| 11 | 1 | 0 | 0 | 0 |
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| 10 | 1 | 0 | 0 | 0 |
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```math
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S = \overline a \overline b
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```
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| S | 00 | 01 | 11 | 10 |
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| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
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| 00 | 1 | 0 | 0 | 1 |
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| 01 | 1 | 0 | 0 | 1 |
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| 11 | 1 | 0 | 0 | 1 |
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| 10 | 1 | 0 | 0 | 1 |
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```math
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S = \overline b
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```
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| S | 00 | 01 | 11 | 10 |
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| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
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| 00 | 1 | 0 | 0 | 1 |
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| 01 | 0 | 0 | 0 | 0 |
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| 11 | 0 | 0 | 0 | 0 |
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| 10 | 1 | 0 | 0 | 1 |
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```math
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S = \overline b \overline d
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```
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## Exercices
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**Simplifier à l'aide du tableau du Karnaugh l'équation logique suivante** :
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```math
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T = \overline a b \overline c \overline d + ab \overline c \overline d + \overline a bc \overline d + abc\overline d + \overline a \overline b c \overline d + a \overline b c \overline d
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```
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| T | 00 | 01 | 11 | 10 |
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| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
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| 00 | 0 | 1 | 1 | 0 |
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| 01 | 0 | 0 | 0 | 0 |
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| 11 | 0 | 0 | 0 | 0 |
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| 10 | 1 | 1 | 1 | 1 |
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D'après le tableau de Karnaugh suivant, rechercher l'équation logique réduite :
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| U | 00 | 01 | 11 | 10 |
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| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
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| 00 | 1 | 1 | 1 | 1 |
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| 01 | 1 | 1 | 1 | 1 |
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| 11 | 1 | 1 | 0 | 1 |
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| 10 | 1 | 1 | 1 | 1 |
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Indice : utiliser le théorème de **DE MORGAN**
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```math
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\overline U = abcd
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```
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