Florian Mathieu
616dd49e8c
- Ajout des 10 TPs d'évaluation (sans PDF) - Création GLOSSAIRE.md et AMELIORATIONS.md - Corrections f-strings, eval(), sommaires Co-Authored-By: Claude Opus 4.5 <noreply@anthropic.com>
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## Codage des booléens
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> Ce cours fournit une introduction à la logique booléenne et à la manière dont elle s'applique à l'informatique. Vous apprendrez non seulement les bases des opérations booléennes, mais vous comprendrez également comment ces opérations peuvent être utilisées pour créer des structures plus complexes, telles que des additions binaires, des multiplexeurs, des décodeurs et, finalement, un ordinateur entier.
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## Sommaire
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| Chapitre | Description |
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| [Cours principal](#définition) | Logique booléenne, tables de vérité, portes logiques |
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| [Python et booléens](PYTHON.md) | Opérateurs booléens en Python |
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| [Tables de Karnaugh](KARNAUGH.md) | Simplification d'expressions logiques |
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| [Exercices](exercices/) | Exercices d'application |
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| [TP](tp/) | Travaux pratiques |
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## Le programme
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## Définition
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De nombreux dispositifs électroniques, électromécaniques, (mécaniques, électriques, pneumatiques, etc....) fonctionnent en TOUT ou RIEN.
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Ceci sous-entend qu'ils peuvent prendre 2 états.
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Exemples :
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- Arrêt / Marche
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- Enclenché / Déclenché
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- Vrai / Faux
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- Ouvert / Fermé
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- Avant / Arrière
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- Conduction / Blocage
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Un système présentera un fonctionnement __logique combinatoire__ si l'état à un instant $`t`$ des variables de sortie ne dépend que de l'état des variables d'entrée au même instant $`t`$.
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## Variable logique
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Une variable logique est un type de variable qui peut prendre uniquement l'une de deux valeurs, généralement désignées comme 0 (faux) et 1 (vrai). Ces deux valeurs sont souvent utilisées pour représenter deux états opposés. Par exemple :
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| État Vrai | État Faux |
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| :-------: | :-------: |
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| Oui | Non |
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| True | False |
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| 1 | 0 |
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| Haut | Bas |
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*Par exemple, la variable "IsLightOn" peut avoir deux états : 1 (la lumière est allumée) ou 0 (la lumière est éteinte).*
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## Fonction logique
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Une fonction logique est une expression qui produit une valeur de vérité à partir d'autres valeurs de vérité. Par exemple, une fonction logique peut comporter des variables logiques $`n`$. Pour chacune de ces combinaisons, la fonction peut prendre une valeur 0 ou 1. Nous obtenons donc $`2^n`$ combinaisons pour ces $`n`$ variables.
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### Table de vérité
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On représente l'ensemble valeurs d'entrées et sorties par une table de vérité :
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- À chaque variable d'entrée correspond une colonne,
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- À chaque ligne, une valeur d'état possible,
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- Une colonne de sortie contient la valeur de l'état de l'opération.
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Exemple :
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```math
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\begin{aligned}
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S = 1 \text{ si} \left\{
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\begin{array}{l}
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a = 0 \text{ et } b = 1 \\
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a = 0 \text{ et } b = 0 \\
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a = 1 \text{ et } b = 0
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\end{array}
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\right.
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\end{aligned}
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```
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| $`a`$ | $`b`$ | $`S`$ |
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| :--: | :--: | :--: |
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| 0 | 1 | 1 |
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| 0 | 0 | 1 |
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| 1 | 1 | 0 |
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| 1 | 0 | 1 |
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### Opérateurs logiques
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#### Opérateur NON
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On associe à une variable binaire quelconque $`a`$ son complément, noté $`\overline{a}`$
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```math
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\begin{aligned}
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S = 1 \text{ si } a = 0
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\end{aligned}
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```
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La table de vérité de l'opérateur NON :
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| $`a`$ | $`S = \overline{a}`$ |
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| :--: | :--: |
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| 0 | 1 |
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| 1 | 0 |
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#### Opérateur ET
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L'état 1 est obtenu lors de l’action simultanée sur les 2 variables $`a`$ et $`b`$. L'opérateur est noté $`\land`$
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```math
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\begin{aligned}
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S & = 1 \text{ ssi } a = 1 \text{ et } b = 1 \\
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& = a \land b
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\end{aligned}
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```
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La table de vérité de l'opérateur ET :
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| $`a`$ | $`b`$ | $`S = a \land b`$ |
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| :--: | :--: | :--: |
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| 0 | 0 | 0 |
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| 0 | 1 | 0 |
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| 1 | 0 | 0 |
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| 1 | 1 | 1 |
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##### Propriétés
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```math
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\begin{aligned}
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a \land a & = a \\
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a \land 1 & = a \\
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a \land \overline{a} & = 0 \\
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a \land 0 & = 0
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\end{aligned}
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```
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#### Opérateur OU
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L'état 1 est obtenu lors de l’action simultanée sur l'une des 2 variables ou les 2. L'opérateur est noté $`\lor`$
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```math
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\begin{aligned}
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S = 1 \text{ ssi} \left\{
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\begin{array}{l}
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a = 0 \text{ ou } b = 1 \\
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a = 1 \text{ ou } b = 0 \\
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||
a = 1 \text{ ou } b = 1
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\end{array}
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\right.
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\end{aligned}
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```
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La table de vérité de l'opérateur OU :
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| $`a`$ | $`b`$ | $`S = a \lor b`$ |
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| :--: | :--: | :--: |
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| 0 | 0 | 0 |
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| 0 | 1 | 1 |
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| 1 | 0 | 1 |
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| 1 | 1 | 1 |
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##### Propriétés
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```math
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\begin{aligned}
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a \lor a & = a \\
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a \lor 1 & = 1 \\
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a \lor \overline{a} & = 1 \\
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a \lor 0 & = a
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\end{aligned}
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```
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### Portes Logiques de Base
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Une porte logique est un dispositif qui effectue une opération logique sur un ou plusieurs signaux logiques produisant une sortie. Les portes logiques de base sont :
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1. **Porte AND** : Cette porte a deux ou plusieurs entrées et une sortie. La sortie est vraie (1) si toutes les entrées sont vraies.
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2. **Porte OR** : Cette porte a deux ou plusieurs entrées et une sortie. La sortie est vraie (1) si au moins une des entrées est vraie.
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3. **Porte NOT** : Cette porte a une seule entrée et une sortie. La sortie est l'inverse de l'entrée. Si l'entrée est vraie (1), la sortie est fausse (0) et vice versa.
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4. **Porte XOR (OU exclusif)** : Cette porte a deux entrées et une sortie. La sortie est vraie (1) si une, et seulement une, des entrées est vraie.
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5. **Porte NAND (NON-ET)** : Cette porte a deux ou plusieurs entrées et une sortie. La sortie est fausse (0) uniquement si toutes les entrées sont vraies. C'est l'inverse de la porte AND.
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6. **Porte NOR (NON-OU)** : Cette porte a deux ou plusieurs entrées et une sortie. La sortie est vraie (1) uniquement si toutes les entrées sont fausses. C'est l'inverse de la porte OR.
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### Algèbre de Boole
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#### Définition
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Système algébrique constitué de l'ensemble $`\{0, 1\}`$, muni des 3 opérateurs de base NON, ET, OU.
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#### Propriétés
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- __Associativité__ : Comme avec les opérations habituelles, certaines parenthèses sont inutiles. Exemple : $`( a \land b ) \land c = a \land (b \land c) = a \land b \land c`$
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- __Commutativité__ : L'ordre est sans importance. Exemple : $`a \land b = b \land a`$
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- __Distributivité__ : Exemple : $`a \lor ( b \land c ) = ( a \lor b ) \land ( a \lor c )`$
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- __Idempotence__ : Exemple : $`a \land a \land a \land \dots \land a = a`$
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### Forme canonique
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Combinaison des variables de la fonction via les opérateurs de base de l’__algèbre de Boole__.
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La fonction $`S`$ définie par :
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```math
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\begin{aligned}
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S = 1 \text{ si} \left\{
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\begin{array}{l}
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a = 0 \text{ et } b = 1 \\
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a = 0 \text{ et } b = 0 \\
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a = 1 \text{ et } b = 0
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\end{array}
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\right.
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\end{aligned}
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```
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$`S`$ s'écrit sous sa forme canonique : $`S= (\overline{a} \land b) \lor (\overline{a} \land \overline{b}) \lor (a \land \overline{b})`$
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## Exercices
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### Établir des tables de vérité
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**Travail à effectuer** : Écrire les tables de vérité des expressions booléennes suivantes.
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Conseil : essayez d'imaginer comment la lumière d'une maison pourrait être contrôlée par deux interrupteurs (a et b).
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1. $`S(a, b) = \overline{a} \land b`$
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2. $`S(a, b) = b \lor (a \land b)`$
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3. $`S(a, b) = a \land (a \lor b)`$
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4. $`S(a, b, c) = (\overline{a} \land b) \lor (a \land c)`$
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5. Communication = Émetteur ET Récepteur
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6. Décrocher = (Sonnerie ET Décision de répondre) OU décision d'appeler
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7. Bac = Avoir la moyenne OU (NON Avoir la moyenne ET rattrapage)
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### Équivalence d'expressions booléennes
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1. Montrer que $`(a \land b) = \overline{\overline{a} \lor \overline{b}}`$
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2. Montrer que $`(a \lor b) = \overline{\overline{a} \land \overline{b}}`$
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N.B : Deux expressions booléennes sont équivalentes si leurs tables de vérité le sont.
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Autrement dit, si pour toutes les entrées des tables de vérité, l'ensemble des valeurs de sorties de ces mêmes tables sont équivalentes alors les expressions booléennes sont équivalentes.
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### Déterminer une expression booléenne
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| a | b | ssi(a, b) |
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| :--: | :--: | :--: |
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| 0 | 0 | __1__ |
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| 0 | 1 | __0__ |
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| 1 | 0 | __0__ |
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| 1 | 1 | __1__ |
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**Travail à effectuer** : Trouver l'expression booléenne, notée ssi(a, b) à partir de la table de vérité ci-dessus.
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### Loi de De Morgan
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Les __lois de De Morgan__ sont des identités entre propositions logiques. Elles ont été formulées par le mathématicien britannique Augustus De Morgan (1806-1871).
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1. $`\overline{(a \lor b)} = \overline{a} \land \overline{b}`$
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2. $`\overline{(a \land b)} = \overline{a} \lor \overline{b}`$
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**Travail à effectuer** : Démontrer ces 2 lois.
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### Ressources supplémentaires
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### NANDGAME
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[NANDGAME](http://nandgame.com/) est un jeu en ligne gratuit où vous pouvez construire un ordinateur à partir de zéro en utilisant uniquement la porte logique NAND.
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Auteurs : Florian Mathieu - Philippe Boddaert
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Licence CC BY NC
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<a rel="license" href="http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/"><img alt="Licence Creative Commons" style="border-width:0" src="https://i.creativecommons.org/l/by-nc-sa/4.0/88x31.png" /></a> <br />Ce cours est mis à disposition selon les termes de la <a rel="license" href="http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/">Licence Creative Commons Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Partage dans les Mêmes Conditions 4.0 International</a>.
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