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# Représentation des entiers naturels
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## Le programme
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> Pour que vous compreniez le fonctionnement du binaire, et des systèmes de comptage en général (plus communément appelés bases), je vais commencer par faire une petite réintroduction à la base 10 que vous connaissez tous et toutes.
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> En effet, tout le monde sait compter en base 10 (décimal). Mais comment ça marche ? Comment est construit notre système ? Pour répondre à cette question à l'apparence simple, oubliez tout et reprenons depuis le début : comment avez-vous appris à compter à l'école ?
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## La numération décimale (base 10 )
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Dans la vie courante et dans beaucoup de domaines, nous utilisons la numération décimale. Elle repose à l’origine sur nos dix doigts : les dix symboles – chiffres – permettent de représenter tous les nombres.
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La position des chiffres est primordiale dans cette représentation (numération de position) : il y a quelques années déjà, vous avez appris ce qu’étaient les unités (colonne de droite), les dizaines, les centaines, etc…
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Bref, il y a 10 chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
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Avec ces derniers, on peut compter jusqu'à 9. Et si l'on veut aller au-delà de 9, il faut changer de rang. Le nombre en est ainsi décomposé.
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Ainsi, on peut écrire 4138 comme 4 * 1000 + 1 * 100 + 3 * 10 + 8 * 1
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- On remarque les égalités suivantes : 1000 = 10<sup>3</sup> ; 100 = 10² ; 10 = 10<sup>1</sup> ; 1 = 10<sup>0</sup>
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Donc 4138 peut s’écrire : 4 * 10<sup>3</sup> + 1 * 10<sup>2</sup> + 3 * 10<sup>1</sup> + 8 * 10<sup>0</sup>
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- où 10 est appelé BASE de cette numération (ici décimale)
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- où chaque chiffre (compris entre 0 et 9) est soit celui des unités, dizaines, etc…
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***Application : méthode des divisions successives par 10 (car on parle de base 10) :***
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4138 divisé par 10 = .... ---> reste ....
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.... divisé par 10 = .... ---> reste ....
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.... divisé par 10 = .... ---> reste ....
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.... divisé par 10 = .... ---> reste ....
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Soit .... x 10<sup>3</sup> + .... x 10<sup>2</sup> + .... x 10 <sup>1</sup> + .... x 10<sup>0</sup> = ................
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*Un nombre est égal à la somme des valeurs de ses rangs, et on peut décomposer n'importe quel nombre en
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puissance de sa base.*
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## Le codage binaire (base 2)
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Nous avons donc vu le principe de **rangs** dans l'écriture d'un nombre.
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En binaire, c'est pareil à la différence qu'on utilise le terme ***bit***, qui est la
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contraction de **_binary digit_**, littéralement **_chiffre binaire_**.
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Un bit a deux états stables.
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En électronique, il est facile d'obtenir un système présentant deux états stables distincts.
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Prenons l'exemple d'un interrupteur :
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Exemple d'information à deux états :
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| Chiffre binaire | États | Interrupteur | DEL | Tension Présente | Logique |
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| --------------- | --------------- | ------------ | ------- | ---------------- | ------- |
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| 0 | Passif / Repos | Ouvert | Éteinte | Non | FAUX |
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| 1 | Actif / Travail | Fermé | Allumée | Oui | VRAI |
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Ainsi, pour coder une information qui peut ne prendre que deux états stables, la numération binaire est la
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plus adaptée.
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**Remarque** : étant donné que les symboles 0 et 1 sont communs à beaucoup de bases de numération (en
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l’occurrence 2 et 10), nous adoptons les notations suivantes.
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- (1011)<sub>b</sub> ou 1011(en base 2) ou encore (1011)<sub>2</sub> pour la base binaire
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- (101)<sub>d</sub> ou 101(en base 10) ou encore (101)<sub>10</sub> pour la base dix
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### Comment trouver la représentation en base deux d'un entier naturel donné en base dix
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- Méthode des divisions successives :
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- Exemple: (11)<sub>d</sub> = (?)<sub>b</sub>
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(11)<sub>d</sub> => (1011)<sub>b</sub>
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### Comment représenter des informations complexes ?
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- Avec 1 bit, nous pouvons coder 2 informations.
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- Avec 2 bits, nous pouvons coder 4 informations différentes (2²)
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Si nous généralisons un peu : avec **_k_** bits, nous pouvons coder **_2<sup>k</sup>_** informations différentes
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### À faire vous-même
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Compléter le tableau suivant afin de coder les 8 premiers entiers naturels (entiers positifs ou nul)
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| Bit de poids fort | | Bit de poids faible | Base 10 |
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| ----------------- | --------------- | ------------------- | ------- |
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| Bit<sub>2</sub> | Bit<sub>1</sub> | Bit<sub>0</sub> | |
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| | | | 0 |
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| | | | 1 |
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| | | | 2 |
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| | | | 3 |
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| | | | 4 |
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| | | | 5 |
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| | | | 6 |
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| | | | 7 |
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***Remarques*** :
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- le bit de poids fort est le bit le plus à gauche
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- le bit de poids faible est donc celui le plus à droite
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### À faire vous-même
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1. Convertir 42(10) en base 2
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2. Convertir 104(10) en base 2
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### Qu'est ce qu'un octet ?
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Un octet ((**byte** en anglais) est un regroupement de 8 bits.
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On parle aussi de mot. Il permet de coder 2<sup>8</sup> = 256 mots différents.
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Si nous codons des entiers naturels, nous coderons les nombres 0 à 255. Dans la littérature, un regroupement de 4 bits est appelé un quartet (cela nous servira plus tard).
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### Unités de mesure
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Il est très courant en informatique de mesurer la capacité mémoire d'un disque dur, de la RAM d'un ordinateur ou d'un débit de données Internet avec une unité de mesure exprimée comme un multiple d'octets. Ces multiples sont traditionnellement des puissances de 10 et on utilise les préfixes "kilo", " méga", etc. pour les nommer. Le tableau ci-dessous donne les principaux multiples utilisés dans la vie courante.
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| Nom | Symbole | Valeur |
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| :--------------- |:---------------: | -----:|
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| Kilooctet | ko | 10<sup>3</sup> octets |
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| Mégaoctet | Mo | 10<sup>3</sup> ko |
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| Gigaoctet | Go | 10<sup>3</sup> Mo |
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| Teraoctet | To | 10<sup>3</sup> Go |
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> Remarque : Historiquement, les multiples utilisés en informatique étaient des puissances de 2. Pour ne pas confondre l'ancienne et la nouvelle notation, on utilise des symboles différents pour représenter ces multiples.
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| Nom | valeur | Nombre d'octets |
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| :--------------- |:---------------: | -----:|
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| Kio | 2<sup>10</sup> octets | 1024 |
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| Mio | 2<sup>10</sup>Kio |1048576|
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| Gio | 2<sup>10</sup>Mio |1073741824|
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| Tio | 2<sup>10</sup>Gio |1099511627776|
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### À faire vous-même
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> Faisons la conversion de la base 2 vers la base 10 --> Passer de (0 1 1 0 1 1 0 1)<sub>b</sub> = (….......)<sub>d</sub>
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***Méthode :***
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- Écrire le nombre binaire dans le tableau de correspondance
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- Faire la somme des valeurs des rangs pour lesquels la valeur du bit vaut 1.
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| Rang | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
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| -------------------------- | ------------- | ------------- | ------------- | ------------- | ------------- | ------------- | ------------- | ------------- |
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| Puissance | 2<sup>7</sup> | 2<sup>6</sup> | 2<sup>5</sup> | 2<sup>4</sup> | 2<sup>3</sup> | 2<sup>2</sup> | 2<sup>1</sup> | 2<sup>0</sup> |
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| Pondération | 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
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| Nombre binaire à convertir | | | | | | 1 | 1 | 1 |
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Somme : ?
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### À faire vous-même : le cerveau, un canal de données
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> On estime que nos capteurs sensoriels (yeux, peau, oreilles…) font entrer dans notre système nerveux environ **11 millions de bits par seconde**, alors que nous ne devenons *conscients* que d'une cinquantaine de bits par seconde. Mettons ces deux débits dans les unités du tableau ci-dessus.
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On rappelle qu'un octet vaut 8 bits, et on utilise les préfixes en puissances de 10 (ko, Mo).
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1. Convertir 11 000 000 bit/s en octets par seconde, puis en Mo/s.
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2. À titre de comparaison, une série diffusée en 1080p demande environ 5 Mbit/s. Nos sens représentent-ils un débit du même ordre de grandeur ?
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3. Convertir 50 bit/s en octets par seconde. Sachant qu'un caractère ASCII occupe 1 octet, combien de caractères cela représente-t-il par seconde ?
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4. Combien de temps faudrait-il pour faire passer un SMS de 160 caractères dans un canal de 50 bit/s ?
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5. Calculer le rapport entre les deux débits (entrée sensorielle / conscience). Que devient l'information manquante, d'après vous ?
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6. **Bonus.** À 50 bit/s, combien de temps faudrait-il pour transmettre 1 Go de données ? Exprimer le résultat en années.
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<details>
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<summary>Réponses</summary>
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<ul>
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<li><b>1.</b> 11 000 000 / 8 = 1 375 000 octets/s, soit 1 375 ko/s ≈ <b>1,375 Mo/s</b>.</li>
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<li><b>2.</b> Oui : 5 Mbit/s = 5 000 000 bit/s, donc nos sens font entrer un peu plus du double d'un flux vidéo 1080p. Même ordre de grandeur.</li>
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<li><b>3.</b> 50 / 8 = <b>6,25 octets/s</b>, soit environ 6 caractères par seconde.</li>
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<li><b>4.</b> 160 caractères = 160 octets = 1 280 bits ; 1 280 / 50 = <b>25,6 secondes</b>.</li>
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<li><b>5.</b> 11 000 000 / 50 = <b>220 000</b>. L'immense majorité de l'information est filtrée avant d'atteindre la conscience : elle est traitée, résumée ou jetée sans que nous nous en apercevions.</li>
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<li><b>6.</b> 1 Go = 10<sup>9</sup> octets = 8 × 10<sup>9</sup> bits ; 8 × 10<sup>9</sup> / 50 = 1,6 × 10<sup>8</sup> secondes ≈ <b>5 ans</b>.</li>
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</ul>
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</details>
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### Le système hexadécimal
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La représentation en binaire n'est pas pratique pour nous humains pour travailler (longueur de l'information importante, difficile à écrire et à lire sans faire d'erreur...).
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Pour cela, nous travaillons avec la ***base hexadécimale.***
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Le système hexadécimal permet de réduire la longueur des mots et facilite leur manipulation :
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L'écriture d'un nombre binaire en base hexadécimale est aisée.
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Ce système comporte seize symboles :
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- les dix chiffres du système décimal (0 à 9)
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- et les six premières lettres de l’alphabet (A à F)
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Ce sera donc un système en **base 16**.
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- Pour l'ordinateur, ça ne change rien, il travaille toujours en binaire.
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### À faire vous-même
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> Compléter la colonne binaire
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| Décimal | Binaire | Hexadécimal |
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| ------- | ------- | ----------- |
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| 0 | 0000 | 0 |
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| 1 | 0001 | 1 |
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| 2 | 0010 | 2 |
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| 3 | 0011 | 3 |
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| 4 | | 4 |
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| 5 | | 5 |
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| 6 | | 6 |
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| 7 | | 7 |
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| 8 | | 8 |
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| 9 | | 9 |
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| 10 | | A |
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| 11 | | B |
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| 12 | | C |
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| 13 | | D |
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| 14 | | E |
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| 15 | | F |
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> Passer de la base décimale à la base hexadécimale
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Application : la méthode des divisions successives dans la base 16 :
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63650 divisé par 16 = **3978** ---> reste **2**
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**3978** divisé par 16 = .... ---> reste ....
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.... divisé par 16 = .... ---> reste ....
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.... divisé par 16 = .... ---> reste ....
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On obtient alors la combinaison de nombres hexadécimaux suivants : ....................
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Soit .... x 16<sup>3</sup> + .... x 16<sup>2</sup> + .... x 16<sup>1</sup> + .... x 16<sup>0</sup> = ................
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> Faisons la conversion de la base 16 vers la base 10, écrire le nombre 2A3 (16) en base décimale
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Méthode :
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- Ecrire le nombre hexadécimal dans le tableau de correspondance en positionnant le chiffre correspondant à chacun des rangs.
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- Faire la somme des produits des chiffres avec la pondération correspondante.
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| Rang | 3 | 2 | 1 | 0 |
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| ------------------------------ | -------------- | -------------- | -------------- | -------------- |
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| Puissance | 16<sup>3</sup> | 16<sup>2</sup> | 16<sup>1</sup> | 16<sup>0</sup> |
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| Pondération | 4096 | 256 | 16 | 1 |
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| Nombre hexadécimal à convertir | | | | |
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> Passer du code binaire au code hexadécimal
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**_Première méthode_** : opérer en deux étapes.
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- passer du binaire au décimal dans un premier temps
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- passer ensuite du décimal à l’hexadécimal
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Exemple : vérifier que 10110111101 (2) = 1469 (10) = 5BD
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**_Deuxième méthode_** : plus rapide, elle consiste à découper le nombre binaire en quartets (mots de 4 bits), à partir de la droite, puis à remplacer chaque quartet par le symbole hexadécimal correspondant.
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Exemple : 10110111101 (2) = 101 1011 1101 en binaire découpé en quartet
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= 5 B D en hexadécimal
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### Passer d'une base quelconque à une autre
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Pour passer d'une base à une autre, on passera par la base 10 car c'est sur cette base qu'on maîtrise le mieux les opérations de base.
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Exemple : (944)<sub>10</sub> → ( 12234)<sub>5</sub>
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Auteur : Florian Mathieu
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Licence CC BY-SA
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<a rel="license" href="http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/"><img alt="Licence Creative Commons" style="border-width:0" src="https://i.creativecommons.org/l/by-sa/4.0/88x31.png" /></a> <br />Ce cours est mis à disposition selon les termes de la <a rel="license" href="http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/">Licence Creative Commons Attribution - Partage dans les Mêmes Conditions 4.0 International</a>.
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