TermNSI/Recursivité/TP_1_recursivite.ipynb

Récursivité et Programmation Dynamique

La reproduction des lapins

Nous allons utiliser 2 grandes méthodes de programmation que nous allons appliquer à un problème célèbre et récurrent dans le milieu de la programmation.

En 1202, Leonardo Fibonacci publie un ouvrage dans lequel il traite d'un problème simple et concret : la croissance d'une population de lapins. Il s'agit de savoir comment contrôler la population des clapiers et quand vendre ses lapins, etc.

Voici le fonctionnement simplifié de cette reproduction :

1. On compte les lapins par couple
2. Chaque mois chaque couple de lapins matures donne naissance à 1 couple de jeunes lapins immatures
3. Après 2 mois les jeunes couples deviennent matures et engendrent à leur tour un jeune couple immature
4. On étudie la croissance de la population tous les mois : n est le nombre de mois

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
nb couples matures	0	0	0	1
nb couples immatures 1er mois	0	1	0	1
nb couples immatures 2ème mois	0	0	1	0
nb couples	0	1	1	2

• Complétez les mois manquants en respectant les règles de reproduction.

• En vous inspirant de la méthode que vous avez employée pour compléter le tableau ci-dessus, écrivez une fonction lapinoux(n) qui retourne le nombre de couples de lapin obtenus au mois n.

• Testez votre fonction pour des valeurs de n entre 0 et 10.

In [ ]:

def lapinoux(n: int) -> int:
    """ Calcule le nombre de couples de lapins au bout de n mois (n>=0) """    

🏁 Terminaison : la fonction termine toujours car elle est constituée d'un boucle finie for ... range.

🐌 Complexité : O(n) car à chaque fois qu'on augmente n de 1 on ajoute un tour de boucle avec 3 affectations et 1 addition.

Suite de Fibonacci

Comme vous êtes de bons élèves en mathématiques, il ne vous a pas échappé que ce fonctionnement pouvait se formaliser sous forme de suite mathématique qu'on nomme la Suite de Fibonacci.

En effet, vous avez pu constater que pour obtenir un terme pour un mois donné, il suffisait de faire la somme des termes des 2 mois précédents : fibo(0) = 0 ; fibo(1) = 1 ; fibo(n) = fibo(n-1) + fibo(n-2).

• Reprogrammez la fonction précédente en la nommant fibo(n) mais cette fois en utilisant la définition de la suite ci-dessus.

• Testez votre fonction pour des valeurs de n entre 0 et 10.

In [ ]:

def fibo(n: int) -> int:
    """ Calcule les termes de la suite de Fibonacci (n>=0) """    

🏁 Terminaison : la fonction termine toujours car elle est constituée d'un boucle finie for ... range.

🐌 Complexité : O(n) car à chaque fois qu'on augmente n de 1 on ajoute un tour de boucle avec 3 affectations et 1 addition.

Récursivité

⚠️ En informatique une fonction peut s'appeler elle-même, c'est ce qu'on nomme une fonction récursive. Faisons un exemple pour voir :

In [10]:

def recursive_infinie():
    print("Lancement de la fonction recursive_infinie()")
    recursive_infinie()
    
recursive_infinie()

Lancement de la fonction recursive_infinie()
Lancement de la fonction recursive_infinie()
Lancement de la fonction recursive_infinie()
Lancement de la fonction recursive_infinie()
Lancement de la fonction recursive_infinie()
Lancement de la fonction recursive_infinie()
Lancement de la fonction recursive_infinie()
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Lancement de la fonction recursive_infinie()
Lancement de la fonction recursive_infinie()
Lancement de la fonction recursive_infinie()
Lancement de la fonction recursive_infinie()
Lancement de la fonction recursive_infinie()
Lancement de la fonction recursive_infinie()
Lancement de la fonction recursive_infinie()
Lancement de la fonction recursive_infinie()
Lancement de la fonction recursive_infinie()
Lancement de la fonction recursive_infinie()
Lancement de la fonction recursive_infinie()

---------------------------------------------------------------------------
RecursionError                            Traceback (most recent call last)
<ipython-input-10-2d19be49f426> in <module>
      3     recursive_infinie()
      4 
----> 5 recursive_infinie()

<ipython-input-10-2d19be49f426> in recursive_infinie()
      1 def recursive_infinie():
      2     print("Lancement de la fonction recursive_infinie()")
----> 3     recursive_infinie()
      4 
      5 recursive_infinie()

... last 1 frames repeated, from the frame below ...

<ipython-input-10-2d19be49f426> in recursive_infinie()
      1 def recursive_infinie():
      2     print("Lancement de la fonction recursive_infinie()")
----> 3     recursive_infinie()
      4 
      5 recursive_infinie()

RecursionError: maximum recursion depth exceeded while calling a Python object

Vous constatez que la fonction s'appelle elle-même sans s'arrêter jusqu'à provoquer l'erreur : RecursionError: maximum recursion depth exceeded while calling a Python object. Qui se traduit littéralement par : Ta function ne s'arrête pas gros noob !

⚠️ Quand nous écrivons une fonction récursive, il faut s'assurer que la fonction s'arrête à coup sûr ! Il faut donc bien écrire le ou les cas d'arrêt.

Essayons cet autre exemple :

In [12]:

def recursive(n: int):
    print(f"On est dans la fonction recursive({n})")
    if n <= 0 :
        print("C'est fini !")
    else :
        recursive(n-1)
    
recursive(10)

On est dans la fonction recursive(10)
On est dans la fonction recursive(9)
On est dans la fonction recursive(8)
On est dans la fonction recursive(7)
On est dans la fonction recursive(6)
On est dans la fonction recursive(5)
On est dans la fonction recursive(4)
On est dans la fonction recursive(3)
On est dans la fonction recursive(2)
On est dans la fonction recursive(1)
On est dans la fonction recursive(0)
C'est fini !

• Écrivez la fonction fibor(n) pour calculer les termes de la Suite de Fibonacci en utilisant une fonction récursive. Pour cela vous devez utiliser le fait que fibor(n) doit retourner fibor(n-1) + fibor(n-2) ! Et pensez aux cas d'arrêt !
• Testez votre fonction pour des valeurs de n entre 0 et 10.

In [ ]:

def fibor(n: int) -> int:
    """ Calcule les termes de la suite de Fibonacci récursivement (n>=0) """    

🏁 Terminaison : la fonction termine toujours car elle est appelée récursivement avec des paramètres entiers positifs décroissants donc ils arriveront forcément à 0 et 1 ce qui arrêtera les appels récursifs.

🐌 Complexité : O(A^n), chaque appel de la fonction avec un nombre n plus grand déploie un arbre d'appel qui croît exponentiellement.

Cette méthode de programmation récursive est séduisante car elle permet de programmer simplement des problèmes difficiles (parcours de structures, etc.). Mais elle a un gros défaut, c'est qu'elle est souvent peu performante en terme de temps de calcul et d'efficacité mémoire. Voyons pourquoi.

• Ajouter à votre fonction un print qui permet de voir toutes les fonctions appelées. Ensuite testez fibor(10)

In [ ]:

def fibor(n: int) -> int:
    """ Calcule les termes de la suite de Fibonacci récursivement (n>=0) """

Vous constatez que la fonction fibor est lancée 177 fois ! Et surtout, on calcule les mêmes valeurs plusieurs fois, par exemple on calcule 8 fois fibor(5) !

Cette image montre bien le problème pour fibor(6) :

On voit dans l'arbre des appels successifs que fibor(4) est calculé 2 fois et fibor(3) 3 fois. Ce qui est évidemment inefficace.

On peut, en général, améliorer la récursivité en faisant de la récursivité terminale, mais nous approfondirons ce problème plus tard...

⚠️ Retenons pour l'instant que la récursivité permet de programmer avec simplicité et élégance des problème difficiles mais souvent au détriment de la performance.

Programmation dynamique

Le gros défaut de l'algorithme précédent est qu'il recalcule sans cesse les mêmes termes inutilement. Il existe une méthode de programmation qui répond justement à ce problème :

⚠️ La programmation dynamique est une méthode de programmation qui consiste à enregistrer des résultats de calculs intermédiaires pour les réutiliser plus tard afin d'éviter de les recalculer.

• Écrivez la fonction fibordyn qui calcule les termes de la suite de Fibonacci récursivement mais avec une liste pour enregistrer les résultats intermédiaires que vous consulterez avant de recommencer un calcul.

• Testez votre fonction avec n = 10.

In [ ]:

def fibordyn(n: int) -> int:
    """ Lanceur de la fonction fibor (n>=0) : initialisation du tableau de résultats """

🏁 Terminaison : la fonction termine toujours car elle est appelée récursivement avec des paramètres entiers positifs décroissants donc ils arriveront forcément à 0 et 1 ce qui arrêtera les appels récursifs.

🐌 Complexité : O(n), on appelle n+1 fois la fonction fibor() qui contient des tests, des affectations, des additions mais aussi des accès à des listes qui se font en temps constant en Python.

⚠️ Je vous conseille de faire un arbre d'appel avec n = 5 pour comprendre exactement comment marche ce programme car c'est plus subtil qu'il n'y parait ! C'est l'occasion d'utiliser Python Tutor !

Performances

Nous avons donc 4 algorithmes différents pour calculer la croissance de la population de nos couples de lapins. Testons leurs performances.

• Copier-coller la définition de votre fonction lapinoux au début de la cellule ci-dessous et exécutez la cellule pour analyser les performances.

In [1]:

# Copiez ici le code de la fonction lapinoux

# Mesure du temps et tracés
import time
%matplotlib notebook
import matplotlib.pyplot as plt

n = [i for i in range(10, 100000, 1000)]
liste_temps = []

for i in n:
    print(f"Test avec n={i}", end = " - ")
    temps = 0.0
    nb_loops = 10
    for test in range(nb_loops):
        start = time.process_time()
        lapinoux(i)
        temps += time.process_time() - start
    temps /= nb_loops
    liste_temps.append(temps)

plt.plot(n, liste_temps, label="lapinoux")
plt.xlabel("n")
plt.grid(True)
print(f"\n\nTemps d'execution de lapinoux avec n={n[-1]} : {liste_temps[-1]}")

Test avec n=10 - Test avec n=1010 - Test avec n=2010 - Test avec n=3010 - Test avec n=4010 - Test avec n=5010 - Test avec n=6010 - Test avec n=7010 - Test avec n=8010 - Test avec n=9010 - Test avec n=10010 - Test avec n=11010 - Test avec n=12010 - Test avec n=13010 - Test avec n=14010 - Test avec n=15010 - Test avec n=16010 - Test avec n=17010 - Test avec n=18010 - Test avec n=19010 - Test avec n=20010 - Test avec n=21010 - Test avec n=22010 - Test avec n=23010 - Test avec n=24010 - Test avec n=25010 - Test avec n=26010 - Test avec n=27010 - Test avec n=28010 - Test avec n=29010 - Test avec n=30010 - Test avec n=31010 - Test avec n=32010 - Test avec n=33010 - Test avec n=34010 - Test avec n=35010 - Test avec n=36010 - Test avec n=37010 - Test avec n=38010 - Test avec n=39010 - Test avec n=40010 - Test avec n=41010 - Test avec n=42010 - Test avec n=43010 - Test avec n=44010 - Test avec n=45010 - Test avec n=46010 - Test avec n=47010 - Test avec n=48010 - Test avec n=49010 - Test avec n=50010 - Test avec n=51010 - Test avec n=52010 - Test avec n=53010 - Test avec n=54010 - Test avec n=55010 - Test avec n=56010 - Test avec n=57010 - Test avec n=58010 - Test avec n=59010 - Test avec n=60010 - Test avec n=61010 - Test avec n=62010 - Test avec n=63010 - Test avec n=64010 - Test avec n=65010 - Test avec n=66010 - Test avec n=67010 - Test avec n=68010 - Test avec n=69010 - Test avec n=70010 - Test avec n=71010 - Test avec n=72010 - Test avec n=73010 - Test avec n=74010 - Test avec n=75010 - Test avec n=76010 - Test avec n=77010 - Test avec n=78010 - Test avec n=79010 - Test avec n=80010 - Test avec n=81010 - Test avec n=82010 - Test avec n=83010 - Test avec n=84010 - Test avec n=85010 - Test avec n=86010 - Test avec n=87010 - Test avec n=88010 - Test avec n=89010 - Test avec n=90010 - Test avec n=91010 - Test avec n=92010 - Test avec n=93010 - Test avec n=94010 - Test avec n=95010 - Test avec n=96010 - Test avec n=97010 - Test avec n=98010 - Test avec n=99010 - 

<IPython.core.display.Javascript object>

Temps d'execution de lapinoux avec n=99010 : 0.08472695129999934

On constate que le temps d'exécution en fonction de n n'est pas linéaire comme la complexité le laissait supposer... ???

• Copier-coller la définition de votre fonction fibo au début de la cellule suivante et exécutez la cellule pour analyser les performances.

In [2]:

# Copiez ici le code de la fonction fibo

# Mesure du temps et tracés
import time
%matplotlib notebook
import matplotlib.pyplot as plt

n = [i for i in range(10, 100000, 1000)]
liste_temps = []

for i in n:
    print(f"Test avec n={i}", end = " - ")
    temps = 0.0
    nb_loops = 10
    for test in range(nb_loops):
        start = time.process_time()
        fibo(i)
        temps += time.process_time() - start
    temps /= nb_loops
    liste_temps.append(temps)

plt.plot(n, liste_temps, label="fibo")
plt.xlabel("n")
plt.grid(True)
print(f"\n\nTemps d'execution de fibo avec n={n[-1]} : {liste_temps[-1]}")

Test avec n=10 - Test avec n=1010 - Test avec n=2010 - Test avec n=3010 - Test avec n=4010 - Test avec n=5010 - Test avec n=6010 - Test avec n=7010 - Test avec n=8010 - Test avec n=9010 - Test avec n=10010 - Test avec n=11010 - Test avec n=12010 - Test avec n=13010 - Test avec n=14010 - Test avec n=15010 - Test avec n=16010 - Test avec n=17010 - Test avec n=18010 - Test avec n=19010 - Test avec n=20010 - Test avec n=21010 - Test avec n=22010 - Test avec n=23010 - Test avec n=24010 - Test avec n=25010 - Test avec n=26010 - Test avec n=27010 - Test avec n=28010 - Test avec n=29010 - Test avec n=30010 - Test avec n=31010 - Test avec n=32010 - Test avec n=33010 - Test avec n=34010 - Test avec n=35010 - Test avec n=36010 - Test avec n=37010 - Test avec n=38010 - Test avec n=39010 - Test avec n=40010 - Test avec n=41010 - Test avec n=42010 - Test avec n=43010 - Test avec n=44010 - Test avec n=45010 - Test avec n=46010 - Test avec n=47010 - Test avec n=48010 - Test avec n=49010 - Test avec n=50010 - Test avec n=51010 - Test avec n=52010 - Test avec n=53010 - Test avec n=54010 - Test avec n=55010 - Test avec n=56010 - Test avec n=57010 - Test avec n=58010 - Test avec n=59010 - Test avec n=60010 - Test avec n=61010 - Test avec n=62010 - Test avec n=63010 - Test avec n=64010 - Test avec n=65010 - Test avec n=66010 - Test avec n=67010 - Test avec n=68010 - Test avec n=69010 - Test avec n=70010 - Test avec n=71010 - Test avec n=72010 - Test avec n=73010 - Test avec n=74010 - Test avec n=75010 - Test avec n=76010 - Test avec n=77010 - Test avec n=78010 - Test avec n=79010 - Test avec n=80010 - Test avec n=81010 - Test avec n=82010 - Test avec n=83010 - Test avec n=84010 - Test avec n=85010 - Test avec n=86010 - Test avec n=87010 - Test avec n=88010 - Test avec n=89010 - Test avec n=90010 - Test avec n=91010 - Test avec n=92010 - Test avec n=93010 - Test avec n=94010 - Test avec n=95010 - Test avec n=96010 - Test avec n=97010 - Test avec n=98010 - Test avec n=99010 - 

<IPython.core.display.Javascript object>

Temps d'execution de fibo avec n=99010 : 0.08640494139999859

Nous obtenons des résultats identiques à la fonction précédente, ce qui est normal puisque ces fonctions sont presques identiques.

• Copier-coller la définition de votre fonction fibor au début de la cellule suivante et exécutez la cellule pour analyser les performances.

In [3]:

# Copiez ici le code de la fonction fibor

# Mesure du temps et tracés
import time
%matplotlib notebook
import matplotlib.pyplot as plt
n = [i for i in range(5, 40, 2)]
liste_temps = []

for i in n:
    print(f"Test avec n={i}", end = " - ")
    temps = 0.0
    nb_loops = 3
    for test in range(nb_loops):
        start = time.process_time()
        fibor(i)
        temps += time.process_time() - start
    temps /= nb_loops
    liste_temps.append(temps)

plt.plot(n, liste_temps, label="fibor")
plt.xlabel("n")
plt.grid(True)
print(f"\n\nTemps d'execution de fibor avec n={n[-1]} : {liste_temps[-1]}")

Test avec n=5 - Test avec n=7 - Test avec n=9 - Test avec n=11 - Test avec n=13 - Test avec n=15 - Test avec n=17 - Test avec n=19 - Test avec n=21 - Test avec n=23 - Test avec n=25 - Test avec n=27 - Test avec n=29 - Test avec n=31 - Test avec n=33 - Test avec n=35 - Test avec n=37 - Test avec n=39 - 

<IPython.core.display.Javascript object>

Temps d'execution de fibor avec n=39 : 24.927656882000008

Comme prévu, le temps d'exécution est bien exponentiel en fonction du nombre n. Cet algorithme récursif est très esthétique dans son écriture mais c'est une catastrophe en terme de performance : 25 sec pour n = 39 seulement !

• Copier-coller la définition de votre fonction fibordyn au début de la cellule suivante et exécutez la cellule pour analyser les performances.

In [7]:

# Copiez ici le code de la fonction fibordyn

# Mesure du temps et tracés
import time
%matplotlib notebook
import matplotlib.pyplot as plt
n = [i for i in range(10, 2985, 25)]
liste_temps = []

for i in n:
    print(f"Test avec n={i}", end = " - ")
    temps = 0.0
    nb_loops = 50
    for test in range(nb_loops):
        start = time.process_time()
        fibordyn(i)
        temps += time.process_time() - start
    temps /= nb_loops
    liste_temps.append(temps)

plt.plot(n, liste_temps, label="fibor")
plt.xlabel("n")
plt.grid(True)
print(f"\n\nTemps d'execution de fibor avec n={n[-1]} : {liste_temps[-1]}")

Test avec n=10 - Test avec n=35 - Test avec n=60 - Test avec n=85 - Test avec n=110 - Test avec n=135 - Test avec n=160 - Test avec n=185 - Test avec n=210 - Test avec n=235 - Test avec n=260 - Test avec n=285 - Test avec n=310 - Test avec n=335 - Test avec n=360 - Test avec n=385 - Test avec n=410 - Test avec n=435 - Test avec n=460 - Test avec n=485 - Test avec n=510 - Test avec n=535 - Test avec n=560 - Test avec n=585 - Test avec n=610 - Test avec n=635 - Test avec n=660 - Test avec n=685 - Test avec n=710 - Test avec n=735 - Test avec n=760 - Test avec n=785 - Test avec n=810 - Test avec n=835 - Test avec n=860 - Test avec n=885 - Test avec n=910 - Test avec n=935 - Test avec n=960 - Test avec n=985 - Test avec n=1010 - Test avec n=1035 - Test avec n=1060 - Test avec n=1085 - Test avec n=1110 - Test avec n=1135 - Test avec n=1160 - Test avec n=1185 - Test avec n=1210 - Test avec n=1235 - Test avec n=1260 - Test avec n=1285 - Test avec n=1310 - Test avec n=1335 - Test avec n=1360 - Test avec n=1385 - Test avec n=1410 - Test avec n=1435 - Test avec n=1460 - Test avec n=1485 - Test avec n=1510 - Test avec n=1535 - Test avec n=1560 - Test avec n=1585 - Test avec n=1610 - Test avec n=1635 - Test avec n=1660 - Test avec n=1685 - Test avec n=1710 - Test avec n=1735 - Test avec n=1760 - Test avec n=1785 - Test avec n=1810 - Test avec n=1835 - Test avec n=1860 - Test avec n=1885 - Test avec n=1910 - Test avec n=1935 - Test avec n=1960 - Test avec n=1985 - Test avec n=2010 - Test avec n=2035 - Test avec n=2060 - Test avec n=2085 - Test avec n=2110 - Test avec n=2135 - Test avec n=2160 - Test avec n=2185 - Test avec n=2210 - Test avec n=2235 - Test avec n=2260 - Test avec n=2285 - Test avec n=2310 - Test avec n=2335 - Test avec n=2360 - Test avec n=2385 - Test avec n=2410 - Test avec n=2435 - Test avec n=2460 - Test avec n=2485 - Test avec n=2510 - Test avec n=2535 - Test avec n=2560 - Test avec n=2585 - Test avec n=2610 - Test avec n=2635 - Test avec n=2660 - Test avec n=2685 - Test avec n=2710 - Test avec n=2735 - Test avec n=2760 - Test avec n=2785 - Test avec n=2810 - Test avec n=2835 - Test avec n=2860 - Test avec n=2885 - Test avec n=2910 - Test avec n=2935 - Test avec n=2960 - 

<IPython.core.display.Javascript object>

Temps d'execution de fibor avec n=2960 : 0.0013239043599969592

Ici le temps d'exécution est bien linéaire en fonction de n.

⚠️ Mais il y a trop d'appels de fonctions imbriqués et Python ne peut pas calculer au delà de n=2900.

Malgré tout, les performances sont bien en dessous de nos premiers algorithmes car ici il faut environ 1 ms pour calculer le terme avec n=2960 alors qu'il en fallait à peine 0.25 ms avec les premiers.

Conclusion

⚠️ La récursivité permet de résoudre facilement des problèmes complexes mais elle s'accompagne souvent de problèmes de performances.

⚠️ La programmation dynamique permet de gagner du temps dans les algorithmes car elle consiste à enregistrer les résultats intermédiaires calculés afin de les ré-utiliser plus tard dans l'algorithme.

Cette technique est souvent utilisée dans les problèmes d'optimisation car dans ce domaine, les calculs utilisent souvent plusieurs fois les mêmes valeurs.