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## Les tableaux de Karnaugh
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## Introduction
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La simplification d'une expression booléenne consiste à réduire le nombre d'opérateurs et/ou de variables, permettant ainsi d'obtenir une version plus compacte de cette expression.
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Plusieurs méthodes sont disponibles à cet effet, mais l'une des plus efficaces est l'utilisation du tableau de Karnaugh. Voici comment elle fonctionne :
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- On crée un tableau pour la fonction à simplifier.
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- On cherche les cellules adjacentes avec la valeur 1.
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- On regroupe ces cellules en blocs de 2^n (n étant un nombre entier), en visant à faire des blocs aussi grands que possible.
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## Construction du tableau de Karnaugh
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Pour une fonction à 3 variables :
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- On met deux variables en haut du tableau (A et B).
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- On place la troisième variable sur le côté gauche (C).
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- La sortie (S) est le résultat de la fonction pour chaque combinaison de valeurs des variables.
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Pour une fonction à 4 variables :
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- Deux variables en haut (A et B)
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- Deux variables à gauche (C et D)
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## Exemples
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Considérons la simplification de l'équation logique suivante :
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$$
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S = \overline a b \overline c \overline d + abcd + a \overline b c d + ab \overline c \overline d
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$$
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En utilisant le tableau de Karnaugh, on peut regrouper les 1 adjacents. Dans le premier regroupement (en haut du tableau), la variable a change d'état et est donc éliminée. Il reste alors :
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$$
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b \overline c \overline d
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$$
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Dans le second regroupement (en bas du tableau), la variable b change d'état et est éliminée. Il reste alors :
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$$
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acd
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$$
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L'équation logique simplifiée est donc :
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$$
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S = acd + b \overline c \overline d
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$$
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En utilisant la même méthode, on peut simplifier d'autres équations logiques. Par exemple :
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| S | 00 | 01 | 11 | 10 |
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| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
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| 00 | 1 | 0 | 0 | 0 |
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| 01 | 1 | 0 | 0 | 0 |
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| 11 | 1 | 0 | 0 | 0 |
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| 10 | 1 | 0 | 0 | 0 |
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Est simplifiée en :
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$$
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S = \overline a \overline b
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$$
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Et de même pour :
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| S | 00 | 01 | 11 | 10 |
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| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
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| 00 | 1 | 0 | 0 | 1 |
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| 01 | 1 | 0 | 0 | 1 |
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| 11 | 1 | 0 | 0 | 1 |
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| 10 | 1 | 0 | 0 | 1 |
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Qui devient :
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$$
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S = \overline b
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$$
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Et encore une fois pour :
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| S | 00 | 01 | 11 | 10 |
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| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
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| 00 | 1 | 0 | 0 | 1 |
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| 01 | 0 | 0 | 0 | 0 |
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| 11 | 0 | 0 | 0 | 0 |
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| 10 | 1 | 0 | 0 | 1 |
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Qui devient :
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$$
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S = \overline b \overline d
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$$
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## Exercices
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Essayez de simplifier l'équation logique suivante à l'aide d'un tableau de Karnaugh :
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$$
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T = \overline a b \overline c \overline d + ab \overline c \overline d + \overline a bc \overline d + abc\overline d + \overline a \overline b c \overline d + a \overline b c \overline d
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$$
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Puis, en utilisant le tableau de Karnaugh ci-dessous, tentez de trouver l'équation logique réduite correspondante. Astuce : utilisez le théorème de DE MORGAN.
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| U | 00 | 01 | 11 | 10 |
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| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
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| 00 | 1 | 1 | 1 | 1 |
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| 01 | 1 | 1 | 1 | 1 |
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| 11 | 1 | 1 | 0 | 1 |
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| 10 | 1 | 1 | 1 | 1 |
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$$
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\overline U = abcd
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$$
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Auteur : Florian Mathieu
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Licence CC BY NC
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<a rel="license" href="http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/"><img alt="Licence Creative Commons" style="border-width:0" src="https://i.creativecommons.org/l/by-nc-sa/4.0/88x31.png" /></a> <br />Ce cours est mis à disposition selon les termes de la <a rel="license" href="http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/">Licence Creative Commons Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Partage dans les Mêmes Conditions 4.0 International</a>.
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