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### Exercices - Algorithmes Gloutons
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**Niveaux de difficulté :** Facile | Moyen | Difficile
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## Exercice 1 (Moyen) : Achat de V-Bucks (Fortnite)
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Dans Fortnite, on peut acheter des V-Bucks avec les packs suivants : `{500, 1000, 2800, 5000, 13500}` V-Bucks.
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Tu veux acheter exactement **8000 V-Bucks** en utilisant le moins de packs possible.
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1. Appliquer l'algorithme glouton **à la main** pour obtenir 8000 V-Bucks. Combien de packs sont nécessaires ?
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2. Existe-t-il une meilleure solution ?
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3. Ce système est-il canonique (le glouton donne-t-il toujours l'optimal) ?
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<details>
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<summary><strong>Voir la correction</strong></summary>
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**Question 1 : Algorithme glouton**
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- On prend 5000 (le plus grand ≤ 8000) : reste 3000
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- On prend 2800 : reste 200
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- 200 < 500, on ne peut plus rien prendre !
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L'algorithme glouton **échoue** à donner exactement 8000.
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**Question 2 : Meilleure solution**
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- 8000 = 5000 + 1000 + 1000 + 1000 = **4 packs**
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- Ou : 8000 = 2800 + 2800 + 1000 + 1000 + 500 - 100... non ça ne marche pas non plus facilement.
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En fait, 8000 = 5000 + 1000 × 3 = **4 packs** est la solution.
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**Question 3 :**
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Non, ce système n'est pas canonique. L'algorithme glouton ne fonctionne pas toujours car les valeurs ne sont pas des multiples les unes des autres.
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</details>
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## Exercice 2 (Facile) : Playlist Spotify optimale
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Tu prépares une playlist pour un trajet de **60 minutes**. Tu veux y mettre le maximum de sons parmi tes favoris :
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| Titre | Artiste | Durée (min) |
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|-------|---------|-------------|
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| Alibi | Sevdaliza | 4 |
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| La Kiffance | Naps | 3 |
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| Bande organisée | Jul & SCH | 6 |
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| Mood | 24kGoldn | 2 |
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| Fever | Dua Lipa | 3 |
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| Blinding Lights | The Weeknd | 3 |
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| Peaches | Justin Bieber | 3 |
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| Heat Waves | Glass Animals | 4 |
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| Iko Iko | Justin Wellington | 3 |
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| Astronaut in the Ocean | Masked Wolf | 2 |
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**Objectif** : Maximiser le nombre de titres dans la playlist sans dépasser 60 minutes.
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1. Quelle stratégie gloutonne proposez-vous ?
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2. Appliquer cette stratégie. Combien de titres obtenez-vous ?
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3. Quelle est la durée totale de la playlist ?
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<details>
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<summary><strong>Voir la correction</strong></summary>
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**Question 1 : Stratégie gloutonne**
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Pour maximiser le **nombre** de titres, on prend les titres **les plus courts en premier**.
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**Question 2 : Application**
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Tri par durée croissante :
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- Mood (2 min) → total = 2
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- Astronaut in the Ocean (2 min) → total = 4
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- La Kiffance (3 min) → total = 7
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- Fever (3 min) → total = 10
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- Blinding Lights (3 min) → total = 13
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- Peaches (3 min) → total = 16
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- Iko Iko (3 min) → total = 19
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- Alibi (4 min) → total = 23
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- Heat Waves (4 min) → total = 27
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- Bande organisée (6 min) → total = 33
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**Tous les 10 titres** rentrent dans 60 minutes !
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**Question 3 :**
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Durée totale : **33 minutes**
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*Note : Dans ce cas, la contrainte de 60 min n'était pas limitante. On aurait pu ajouter d'autres titres.*
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</details>
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## Exercice 3 (Moyen) : Inventaire Minecraft
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Tu joues à Minecraft et ton inventaire peut contenir **64 objets** maximum. Tu veux maximiser la valeur totale des objets pour le commerce avec les villageois.
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| Objet | Quantité dispo | Valeur (émeraudes) | Poids (slots) |
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|-------|----------------|-------------------|---------------|
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| Diamant | 10 | 8 | 1 |
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| Lingot d'or | 20 | 3 | 1 |
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| Fer | 50 | 1 | 1 |
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| Livre enchanté | 5 | 15 | 1 |
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| Émeraude | 30 | 1 | 1 |
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*Chaque objet prend 1 slot, mais tu ne peux pas dépasser 64 slots au total.*
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1. Calculer le ratio valeur/slot pour chaque objet.
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2. Appliquer l'algorithme glouton (meilleur ratio d'abord).
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3. Quelle est la valeur totale obtenue ?
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<details>
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<summary><strong>Voir la correction</strong></summary>
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**Question 1 : Ratios valeur/slot**
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| Objet | Valeur | Ratio |
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|-------|--------|-------|
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| Livre enchanté | 15 | 15.0 |
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| Diamant | 8 | 8.0 |
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| Lingot d'or | 3 | 3.0 |
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| Émeraude | 1 | 1.0 |
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| Fer | 1 | 1.0 |
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**Question 2 : Algorithme glouton**
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Tri par ratio décroissant, on prend dans l'ordre :
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- Livre enchanté : 5 objets → slots = 5, valeur = 75
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- Diamant : 10 objets → slots = 15, valeur = 75 + 80 = 155
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- Lingot d'or : 20 objets → slots = 35, valeur = 155 + 60 = 215
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- Émeraude : 29 objets (64-35=29) → slots = 64, valeur = 215 + 29 = 244
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**Question 3 : Valeur totale**
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**244 émeraudes** avec 64 slots utilisés.
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</details>
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## Exercice 4 (Difficile) : Planning de stream Twitch
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Tu es streamer et tu dois planifier tes lives pour demain. Plusieurs marques te proposent des partenariats avec des créneaux imposés :
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| Sponsor | Début | Fin | Rémunération |
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|---------|-------|-----|--------------|
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| Red Bull | 14h | 17h | 200€ |
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| Logitech | 15h | 18h | 180€ |
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| Samsung | 17h | 19h | 150€ |
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| Razer | 18h | 20h | 120€ |
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| Discord | 19h | 21h | 100€ |
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| NordVPN | 20h | 22h | 90€ |
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**Objectif** : Maximiser le nombre de partenariats (pas de chevauchement possible).
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1. Quelle stratégie gloutonne permet de maximiser le **nombre** de streams ?
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2. Appliquer cette stratégie. Quels sponsors sélectionnez-vous ?
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3. Implémenter l'algorithme en Python.
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<details>
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<summary><strong>Voir la correction</strong></summary>
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**Question 1 : Stratégie**
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Pour maximiser le nombre d'activités, on trie par **heure de fin croissante** et on prend chaque activité compatible.
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**Question 2 : Application**
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Tri par heure de fin : Red Bull (17h), Logitech (18h), Samsung (19h), Razer (20h), Discord (21h), NordVPN (22h)
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- Red Bull (14h-17h) : OK
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- Logitech (15h-18h) : chevauche Red Bull, refusé
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- Samsung (17h-19h) : commence à 17h, Red Bull finit à 17h, OK
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- Razer (18h-20h) : chevauche Samsung, refusé
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- Discord (19h-21h) : commence à 19h, Samsung finit à 19h, OK
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||
- NordVPN (20h-22h) : chevauche Discord, refusé
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**Sponsors sélectionnés : Red Bull, Samsung, Discord** = 3 streams
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Rémunération totale : 200 + 150 + 100 = **450€**
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**Question 3 : Code Python**
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```python
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def planning_stream(sponsors):
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"""
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sponsors : liste de tuples (nom, debut, fin, remuneration)
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||
Retourne la liste des sponsors sélectionnés
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"""
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# Trier par heure de fin croissante
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sponsors_tries = sorted(sponsors, key=lambda x: x[2])
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selection = []
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derniere_fin = 0
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for nom, debut, fin, remuneration in sponsors_tries:
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if debut >= derniere_fin:
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selection.append((nom, debut, fin, remuneration))
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derniere_fin = fin
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return selection
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# Exemple d'utilisation
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sponsors = [
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('Red Bull', 14, 17, 200),
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('Logitech', 15, 18, 180),
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||
('Samsung', 17, 19, 150),
|
||
('Razer', 18, 20, 120),
|
||
('Discord', 19, 21, 100),
|
||
('NordVPN', 20, 22, 90)
|
||
]
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planning = planning_stream(sponsors)
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total = sum(s[3] for s in planning)
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||
print("Sponsors sélectionnés :")
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||
for nom, debut, fin, remuneration in planning:
|
||
print(" ", nom, ":", debut, "h -", fin, "h (", remuneration, "€)")
|
||
print("Rémunération totale :", total, "€")
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```
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</details>
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## Exercice 5 (Difficile) : Draft d'Arène (jeu de cartes)
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Dans le mode **Arène** d'un jeu de cartes, on ne joue pas avec sa collection : on **drafte** son deck. On t'ouvre un booster de 3 cartes, tu en gardes **une seule**, et on passe au booster suivant. **Une carte écartée est perdue pour toujours : on ne revient jamais en arrière.**
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Chaque carte a une **puissance** (plus c'est haut, mieux c'est) et un **coût en mana** (le prix à payer pour la poser sur le plateau).
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> **Règle de jouabilité.** Un deck de 5 cartes n'est jouable que s'il contient **au plus 2 cartes coûtant 5 manas ou plus**. Sinon, tu n'as rien à jouer pendant tes premiers tours, tu perds la partie avant d'avoir pu poser tes grosses cartes : le deck est déclaré **injouable**.
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**Objectif** : obtenir le deck jouable de puissance totale maximale.
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**Booster 1**
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| Carte | Puissance | Coût |
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|-------|-----------|------|
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| Moineau vif | 2 | 1 |
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| Druide chétif | 4 | 3 |
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| Gardien de pierre | 5 | 5 |
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**Booster 2**
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| Carte | Puissance | Coût |
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|-------|-----------|------|
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| Acolyte du givre | 3 | 2 |
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| Chevaucheur de loup | 4 | 3 |
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| Abomination | 6 | 6 |
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**Booster 3**
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| Carte | Puissance | Coût |
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|-------|-----------|------|
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| Voleuse de poches | 2 | 1 |
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| Sentinelle elfe | 4 | 4 |
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| Ver de foudre | 8 | 7 |
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**Booster 4**
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| Carte | Puissance | Coût |
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|-------|-----------|------|
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| Mage novice | 1 | 1 |
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| Alchimiste fou | 3 | 2 |
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| Dragon de givre | 9 | 8 |
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**Booster 5**
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| Carte | Puissance | Coût |
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|-------|-----------|------|
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| Bouffon du roi | 3 | 2 |
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| Capitaine pirate | 5 | 4 |
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| Kraken des profondeurs | 6 | 6 |
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1. Applique la stratégie gloutonne la plus naturelle : **à chaque booster, prendre la carte la plus puissante**. Quel deck obtiens-tu ? Quelle est sa puissance totale ? Est-il jouable ?
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2. Corrige la stratégie pour qu'elle respecte la règle : **à chaque booster, prendre la carte la plus puissante parmi celles qu'on a encore le droit de prendre**. Quel deck obtiens-tu ? Quelle est sa puissance ?
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3. Trouve un deck jouable **strictement meilleur** que celui de la question 2. Où l'algorithme glouton s'est-il fait piéger ?
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4. Le problème vient d'un choix fait au booster 1. Pourquoi l'algorithme glouton ne peut-il pas le corriger une fois arrivé au booster 4 ?
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<details>
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<summary><strong>Voir la correction</strong></summary>
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**Question 1 : glouton naïf**
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| Booster | Carte prise | Puissance | Coût |
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|---------|-------------|-----------|------|
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| 1 | Gardien de pierre | 5 | 5 |
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| 2 | Abomination | 6 | 6 |
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| 3 | Ver de foudre | 8 | 7 |
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| 4 | Dragon de givre | 9 | 8 |
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| 5 | Kraken des profondeurs | 6 | 6 |
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Puissance totale : **34**... mais le deck contient **5 cartes à 5 manas ou plus**, alors que la limite est de 2.
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Le deck est **injouable**. L'algorithme glouton n'a pas donné un résultat « un peu moins bon » : il a donné un résultat **inutilisable**. En ne regardant que la puissance, il a complètement ignoré la contrainte de coût.
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**Question 2 : glouton contraint**
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On compte au fur et à mesure les cartes chères déjà prises.
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| Booster | Cartes autorisées | Carte prise | Puissance | Cartes chères |
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|---------|-------------------|-------------|-----------|---------------|
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| 1 | toutes (0 chère prise) | Gardien de pierre (5) | 5 | 1 / 2 |
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| 2 | toutes (1 chère prise) | Abomination (6) | 6 | 2 / 2 |
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| 3 | quota plein → seulement les cartes < 5 manas | Sentinelle elfe (4) | 4 | 2 / 2 |
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| 4 | quota plein | Alchimiste fou (3) | 3 | 2 / 2 |
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| 5 | quota plein | Capitaine pirate (5) | 5 | 2 / 2 |
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Deck jouable, puissance totale : **23**.
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**Question 3 : mieux**
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Deck optimal : Druide chétif (4) + Chevaucheur de loup (4) + **Ver de foudre (8)** + **Dragon de givre (9)** + Capitaine pirate (5) = **30**.
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Il ne contient bien que 2 cartes chères (Ver de foudre et Dragon de givre), il est donc jouable.
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**Le piège** : le glouton a dépensé ses 2 places de cartes chères dès les boosters 1 et 2, pour des gains ridicules.
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- Au booster 1, prendre le Gardien de pierre (5) au lieu du Druide chétif (4) rapporte **+1**.
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- Au booster 2, prendre l'Abomination (6) au lieu du Chevaucheur de loup (4) rapporte **+2**.
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- Mais au booster 3, le Ver de foudre (8) au lieu de la Sentinelle elfe (4) rapportait **+4**.
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- Et au booster 4, le Dragon de givre (9) au lieu de l'Alchimiste fou (3) rapportait **+6**.
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Le glouton a payé +1 et +2 des places qui valaient +4 et +6. Il a fait deux fois le meilleur choix **du moment**, et c'est précisément ce qui l'a ruiné.
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**Question 4 :**
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Parce que c'est la définition même d'un algorithme glouton : **il ne revient jamais sur un choix déjà fait**. Arrivé au booster 4, il « voit » bien que le Dragon de givre serait excellent, mais son quota est plein et le Gardien de pierre est déjà dans le deck — il ne peut plus l'échanger.
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Ici la règle du jeu et la règle de l'algorithme coïncident : dans un draft, une carte écartée est réellement perdue.
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Plus profondément, au booster 1 l'algorithme **n'avait aucun moyen de savoir** qu'un Dragon de givre l'attendait au booster 4 : il décide avec une vision purement locale. C'est pour cela qu'un algorithme glouton est une **heuristique** — il donne vite une solution correcte, pas forcément la meilleure.
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</details>
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## Exercice 6 (Moyen) : Réflexion
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1. Dans l'exercice 4, on a maximisé le **nombre** de streams. Si on voulait maximiser la **rémunération totale**, l'algorithme glouton donnerait-il le même résultat ?
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2. Parmi ces situations, lesquelles peuvent être résolues de manière optimale par un algorithme glouton ?
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- Choisir les meilleurs joueurs pour une équipe FIFA (budget limité)
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- Organiser l'ordre de visionnage de films sur Netflix (minimiser le temps total)
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- Rendre la monnaie avec des pièces européennes
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- Trouver le chemin le plus court dans Google Maps
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<details>
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<summary><strong>Voir la correction</strong></summary>
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**Question 1 :**
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Non ! Pour maximiser la rémunération, l'algorithme glouton pourrait donner un résultat différent.
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Avec notre solution (Red Bull + Samsung + Discord) : 450€
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Si on avait pris Red Bull (200€) + Razer (120€) + NordVPN (90€) : 410€ (moins bien)
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Mais que se passe-t-il si on prend Logitech (180€) + Discord (100€) = 280€ ? C'est pire.
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En fait, pour ce problème précis, la solution gloutonne par heure de fin est bonne, mais **maximiser la rémunération** est un problème différent (problème du sac à dos déguisé) qui ne se résout pas toujours de manière optimale avec un glouton.
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**Question 2 :**
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| Situation | Optimal avec glouton ? |
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|-----------|------------------------|
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| Équipe FIFA (budget) | Non (c'est un sac à dos) |
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| Ordre films Netflix | Ça dépend du critère... |
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| Monnaie européenne | Oui (système canonique) |
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| Google Maps | Non (Dijkstra n'est pas vraiment glouton au sens strict, mais utilise une approche similaire) |
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</details>
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Auteur : Florian Mathieu
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Licence CC BY-SA
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<a rel="license" href="http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/"><img alt="Licence Creative Commons" style="border-width:0" src="https://i.creativecommons.org/l/by-sa/4.0/88x31.png" /></a> <br />Ce cours est mis à disposition selon les termes de la <a rel="license" href="http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/">Licence Creative Commons Attribution - Partage dans les Mêmes Conditions 4.0 International</a>
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